\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{xspace}

\pagestyle{empty}

\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}0

\newcommand*{\nz}{%
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
\textbf{\thezadacha.} }

\let\C\relax
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}
\newcommand*{\Z}{\ensuremath{\mathbb Z}\xspace}

\let\Re\relax
\let\Im\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}


\begin{document}

\begin{center}\large\sc
  Теория функций комплексного переменного 2025\\ Листок 13
\end{center}

\noindent
Пусть задан параметр $\tau \in \C$, ${\rm Im} \, \tau >0$; определим эллиптическую кривую
$E_{\tau}=\C /(\Z +\tau \Z )$ и тэта-функцию с характеристиками $a,b$ 
рядом
$$
\theta_{a,b}(u)=\theta_{a,b}(u,\tau )=\sum_{k\in \Z}q^{(k+a)^2}e^{2\pi i (k+a)(u+b)}, \quad
q=e^{i\pi \tau},
$$
а также введем тэта-функции Якоби $$\theta_1(u)=-\theta_{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}}(u), \quad
\theta_2(u)=\theta_{\frac{1}{2},0}(u), \quad \theta_3(u)=\theta_{0, 0}(u), \quad
\theta_4(u)=\theta_{0,\frac{1}{2}}(u).$$

\nz
Докажите, что ряд абсолютно сходится на $\C$, и тэта-функции являются целыми функциями,
причем $\theta_1$ -- нечетная, а $\theta_2$, $\theta_3$, $\theta_4$ -- четные функции. 

\nz
Докажите, что $\theta_2(u)=\theta_1(u+\frac{1}{2})$, $\theta_3(u)=
e^{\pi i(u+\tau /4)}\theta_1(u+\frac{\tau +1}{2})$,
$\theta_4(u)=-ie^{\pi i(u+\tau /4)}\theta_1(u+\frac{\tau}{2})$. 

\nz
Докажите следующие свойства тэта-функции при сдвигах на векторы решетки
$1$, $\tau$:
$$
\left \{ \begin{array}{l} 
\theta_1(u+1)=-\theta_1(u)\\
\theta_1(u+\tau)=-q^{-1}e^{-2\pi iu}\theta_1(u).
\end{array} \right.
$$

\nz
Найдите нули функций
$\theta_1 (u)$, $\theta_2(u)$, $\theta_3(u)$, $\theta_4(u)$ и покажите, что они простые.

\nz
Докажите, что тэта-функции удовлетворяют ``уравнению теплопроводности''
$4\pi i \partial_{\tau}\theta = \partial_u^2 \theta$.


\nz
Покажите, что если для набора $\alpha_i\in \C$ выполняется 
$\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha _i=0}$, то при любых $a_i\in E_{\tau}$
$$
f(u)=\sum_{i=1}^n\alpha_i \, \frac{\partial_u \theta_1(u-a_i)}{\theta_1(u-a_i)}
$$
является эллиптической (т.е. двоякопериодической) функцией на $\C$ с периодами $1$, $\tau$. 

\nz
Покажите, что 
$
P(u)=\partial_u^2 \log \theta_1(u)
$
является эллиптической функцией на $\C$ с периодами $1$, $\tau$ и найдите ее полюса. 

\nz
Докажите тождество 
$$
\theta_1(a+b)\theta_1(a-b)\theta_1(u+c)\theta_1(u-c)+
\theta_1(b+c)\theta_1(b-c)\theta_1(u+a)\theta_1(u-a)
$$
$$
+\, \theta_1(c+a)\theta_1(c-a)\theta_1(u+b)\theta_1(u-b)=0.
$$


\nz
Докажите тождество
$$
P(v)-P(u)=(\theta_1'(0))^2 \, \frac{\theta_1(u-v)\theta_1(v+u)}{\theta_1^2(u)\, \theta_1^2(v)}.
$$

\nz
Докажите следующие представления тэта-функций в виде бесконечных произведений:
$$
\theta_1(u)=2q^{\frac{1}{4}}\sin (\pi u) \prod_{n=1}^{\infty}
(1-q^{2n}) (1-q^{2n}e^{2\pi i u})(1-q^{2n}e^{-2\pi i u}),
$$
$$
\theta_2(u)=2q^{\frac{1}{4}}\cos (\pi u) \prod_{n=1}^{\infty}
(1-q^{2n}) (1+q^{2n}e^{2\pi i u})(1+q^{2n}e^{-2\pi i u}),
$$
$$
\theta_3(u)= \prod_{n=1}^{\infty}
(1-q^{2n}) (1+q^{2n-1}e^{2\pi i u})(1+q^{2n-1}e^{-2\pi i u}),
$$
$$
\theta_4(u)=\prod_{n=1}^{\infty}
(1-q^{2n}) (1-q^{2n-1}e^{2\pi i u})(1-q^{2n-1}e^{-2\pi i u}).
$$

\nz
Докажите тождество $\theta '_1(0)=\pi \theta_2(0)\theta_3(0)\theta_4(0)$.

\nz
Докажите формулы модулярного преобразования $\tau \to -1/\tau$:
$$
\theta_1(u/\tau , -1/\tau )=-i\sqrt{-i\tau} e^{\pi i u^2/\tau}
\theta_1(u, \tau ),
$$
$$
\theta_2(u/\tau , -1/\tau )=\sqrt{-i\tau} e^{\pi i u^2/\tau}
\theta_4(u, \tau ),
$$
$$
\theta_3(u/\tau , -1/\tau )=\sqrt{-i\tau} e^{\pi i u^2/\tau}
\theta_3(u, \tau ),
$$
$$
\theta_4(u/\tau , -1/\tau )=\sqrt{-i\tau} e^{\pi i u^2/\tau}
\theta_2(u, \tau ).
$$



\end{document}