\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{xspace}

\pagestyle{empty}

\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}0

\newcommand*{\nz}{%
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
\textbf{\thezadacha.} }

\let\C\relax
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}

\let\Re\relax
\let\Im\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}


\begin{document}

\begin{center}\large\sc
  Теория функций комплексного переменного -- 2025\\ 
  Листок 3 
\end{center}


\nz
Найдите все точки, в которых $\C$-дифференцируемы функции\\
а) $|z|^2$, б) $|z|z$, в) $({\rm Re}\, z)^2$.

\nz
а) При каких комплексных $a,b,c$ функция $f(z)=az+b\bar z +z^2 +c$ имеет
комплексную производную в точке $z=0$? б) При каких вещественных $a,b$
функция $f(x,y)=ax^2+by^2+ixy$ голоморфна на всем $\C$?

\nz
Пусть $f(z)$ -- дифференцируемая функция комплексного
переменного в точке $a$. Докажите, что функция $\overline{f(\bar z)}$
дифференцируема в точке $\bar a$.

\nz
Покажите, что функция $f: re^{i\varphi}\mapsto re^{2i\varphi}$ не
голоморфна на $\C \setminus \{0\}$. 

\nz
а) 
Докажите, что если голоморфная в некоторой области функция 
$f(z)$ вешественна (т.е. принимает только вещественные значения), то она 
постоянна.
б)
Пусть функция $f(z)$ голоморфна в некоторой области $D$, и $|f(z)|=1$ 
всюду в этой области. Докажите, что $f(z)\equiv {\rm const}$.


\nz
Восстановите аналитическую функцию $f(z)$ по условию:

а) ${\rm Re}\, f(z)=\sin x \cosh y$, $f(0)=0$, 

б) ${\rm Re}\, f(z)=
x\sin x \cosh y -y\sinh y \cos x$, $f(0)=0$, 

в) ${\rm Im}\, f(z)=
y\cos x \cosh y-x\sin x \sinh y$, $f(0)=2$, 

г) $|f(z)|=(x^2+y^2)e^x$,

д) $\mbox{arg}\, f(z)=xy$.

\nz
Докажите, что аналитическую в $\C$ функцию
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ можно восстановить по ее вещественной части $u$
или мнимой части $v$ с помощью формул
$$
f(z)=2u\Bigl (\frac{z+z_0}{2}, \, \frac{z-z_0}{2i}\Bigr )-
\overline{f(\bar z_0)},
$$
$$
f(z)=2iv\Bigl (\frac{z+z_0}{2}, \, \frac{z-z_0}{2i}\Bigr )+
\overline{f(\bar z_0)},
$$
где $z_0 \in \C$ -- некоторая точка.

\vspace{0.5cm}
\small{
Вещественнозначная функция двух вещественных 
переменных $F(x,y)$ называется
{\it гармонической}, если $\displaystyle{
\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=0}$.
}

\nz
Запишите оператор Лапласа $\Delta =\displaystyle{
\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}}$ в координатах
$z$, $\bar z$.

\nz
Пусть $f(z)$ -- голоморфная функция. Докажите, что функции
${\rm Re} f$ и ${\rm Im} f$ -- гармонические
(т.е. $\Delta {\rm Re} f=\Delta {\rm Im} f=0$). Что можно сказать 
о функциях $|f|$ и $\mbox{arg}\, f$?

\nz
Пусть $F(x,y)$ -- гармоническая функция. Для каких функций
$G$ функция $G(F(x,y))$ тоже будет гармонической?


\nz
Найдите все гармонические функции вида а) $F=\varphi (x^2+y^2)$, \\ б)
$F=\varphi (x^2-y^2)$, в) $F=\varphi (y/x)$.

\nz
Пусть $u(x,y)$ -- гармоническая функция. Являются ли гармоническими
функции $u(x, -y)$, $u(x^2-y^2, 2xy)$?

\nz
Найдите гармоническую функцию $u(x,y)$ на $\C$ такую, что\\
$u(\cos t, \sin t)=\cos^2 t.$








\end{document}