\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{xspace}

\pagestyle{empty}

\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}0

\newcommand*{\nz}{%
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
\textbf{\thezadacha.} }

\let\C\relax
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}

\let\Re\relax
\let\Im\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}


\begin{document}

\begin{center}\large\sc
  Теория функций комплексного переменного -- 2025\\ листок 1
\end{center}

\nz
Найдите действительные и мнимые части следующих комплексных чисел:

(а) $\displaystyle{\frac{5}{1+2i}+\frac{5}{2-i}}$,
(б) $\displaystyle{\left (\frac{1-i}{1+i}\right )^3}$,
(в) $\displaystyle{\frac{(1-i\sqrt{3})^6}{(1+i)^4}}$,
(г) $\displaystyle{\left (\frac{i^5+2}{i^{19}+1}\right )^2}$

\nz
Найдите модули и аргументы следующих комплексных чисел:

(а) $\displaystyle{(\sqrt{3}-i)^{2023}}$, 
(б) $\displaystyle{\left (\frac{1+i}{1-i}\right )^2}$,
(в) $\displaystyle{\frac{1+\cos \alpha +i\sin \alpha}{1+\cos \alpha -i\sin \alpha},
\quad 0<\alpha <\frac{\pi}{2}}$,\\
(г) $\displaystyle{\frac{e^{i\alpha}+1}{e^{i\alpha}-1}, \quad 0<\alpha <2\pi}$.

\nz
Докажите, что многочлен $f(x)=(\cos \alpha +x\sin \alpha )^n -\cos n\alpha -
x\sin n \alpha$ делится на $x^2+1$.

\nz
Выразите $\sin 4x$ как многочлен от $\sin x$, $\cos x$.

\nz
Решите уравнение $\bar z =z^{n-1}$, $n\in \mathbb{N}$.

\nz
Решите уравнения $z^2=5-12i$, $z^4+4=0$.

\nz
Пусть $\zeta_1, \ldots , \zeta_n$ -- все корни уравнения $z^n=1$, где $n$ --
натуральное число. Найдите сумму $\zeta_1^k+\ldots +\zeta_n^k$ для каждого
натурального $k$.

\nz
Точки $z_1$ и $z_2$ -- смежные вершины правильного $n$-угольника. 
Найдите вершину $z_3$, смежную с $z_2$ ($z_3\neq z_1$, нумерация против 
часовой стрелки).

\nz
Докажите, что комплексные числа $a,b,c$ представляют вершины равностороннего 
треугольника тогда и только тогда, когда 
$$
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac.
$$


\nz
Найдите произведение длин отрезков, соединяющих вершину правильного $n$-угольника
со всеми остальными вершинами, если длина стороны равна 1. 


\nz
Дайте геометрическое описание множеств

(а) $\{ z \colon |z-z_1|=|z-z_2|\}$, 

(б) $\{ z \colon  |z-1|+|z+1|=2a \}$ ($a>1$),

(в) $\{ z \colon  \mbox{Re}(1/z)=\frac{1}{2} \}$.

\nz
Пусть $a,b,c,d$ -- четыре различные точки на единичной окружности.
Найдите точку перечесения прямых $ab$ и $cd$.

\nz
Докажите равенство
$$
|\sqrt{z^2-1}+z|+|\sqrt{z^2-1}-z|=|z-1|+|z+1|.
$$

\nz
Пусть $P(z)$ -- многочлен степени $n$, имеющий $n$ вещественных корней
(с учетом кратности), $a$ -- произвольное вещественное число. Докажите,
что многочлен $Q(z)=P(z+ia)+P(z-ia)$ тоже имеет $n$ вещественных корней. 

\nz
Найдите, во что переводят координатную сетку следующие отображения из
\C в~\C:
(а) $z\mapsto z^2$;
(б) $z\mapsto e^z$;
(в) $z\mapsto 1/z$. 

\nz
Отображение $z\mapsto z+(1/z)$ определено на множестве всех ненулевых
комплексных чисел. 

(а) Во что это отображение переводит множество $\{z\colon |z|>1\}$?

(б) Является ли это отображение взаимно-однозначным на данном множестве?


\nz
Пусть $A>0, C$ действительные, а $B$ -- комплексная постоянные и пусть $AC<|B|^2$.
Докажите, что уравнение 
$$
A|z|^2 +\bar B z +B\bar z +C=0
$$
является уравнением окружности и найдите центр этой окружности и ее радиус.

\nz
Напишите уравнение окружности, проходящей через три различные 
точки $z_1, z_2, z_3$, не лежащие на одной прямой. 

\nz
Пусть отображение задано формулой $z\mapsto Az+B\bar z$. Во что оно
переводит окружность с центром в
нуле?



\end{document}