\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{xspace}

\pagestyle{empty}

\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}0

\newcommand*{\nz}{%
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
\textbf{\thezadacha.} }

\let\C\relax
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}
\newcommand*{\HH}{\ensuremath{\mathbb H}\xspace}

\let\Re\relax
\let\Im\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}


\begin{document}

\begin{center}\large\sc
  Теория функций комплексного переменного 2025\\ листок 10
\end{center}








\nz
Сколько корней многочлена $z^7 +3z+1$ находится в круге 
$|z|<1$?

\nz
Сколько корней многочлена $z^5 +z^2 +3z+1$ находится в круге 
$|z|<1$?

\nz
Докажите, что уравнение $e^z = z+2$ имеет в 
левой полуплоскости (${\rm Re} \, z <0$) единственный (и при том
действительный) корень.

\nz
Докажите, что при $\lambda >1$ уравнение $ze^{\lambda -z}=1$ имеет
в единичном круге ровно один корень (и при том действительный).

\nz
Найдите количество корней многочлена
$$
z^6 +z^5 +6z^4+5z^3 +8z^2 +4z +1
$$
в правой полуплоскости.

\nz
Найдите количество корней уравнения
$$
z^4 +2z^3 +3z^2 +z +2=0
$$
в правой полуплоскости и в правом верхнем квадранте.

\nz
Пусть $f$ -- целая не постоянная функция. Положим $$M=
\mbox{max}_{|z|=r} |f(z)|.$$ Докажите, что 
функция $r\mapsto M(r)$ является строго возрастающей. 
Чему может быть равен ее предел при $r\to +\infty$?

\nz
Докажите, что всякий конформный автоморфизм комплексной плоскости
имеет вид $z\mapsto az+b$, $a\neq 0$. 

\nz
Докажите, что не существует конформного автоморфизма между множествами
$\C \setminus \{0,1,2\}$ и $\C \setminus \{0,1,1000\}$.

\nz
Докажите, что всякий конформный автоморфизм единичного круга --
дробно-линейный автоморфизм. 

\nz
Пусть $U$ -- единичный круг (без границы). Существует ли голоморфное
отображение $f:U\to U$, для которого $f(0)=\frac{1}{2}$, 
$f(\frac{1}{2})=\frac{7}{8}$? 
















\end{document}