\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{xspace}

\pagestyle{empty}

\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}0

\newcommand*{\nz}{%
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
\textbf{\thezadacha.} }

\let\C\relax
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}

\let\Re\relax
\let\Im\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}


\begin{document}

\begin{center}\large\sc
  Теория функций комплексного переменного -- 2025\\ Листок 12
\end{center}




\nz
Пусть регулярная ветвь $g(z)$ функции $\sqrt{z^2-4}$ определена в области $D$, 
представляющей собой комплексную плоскость с разрезом по полуокружности 
$|z|=2$, ${\rm Im} z\geq 0$, причем главная часть ряда Лорана функции $g(z)$ 
в окрестности $\infty$ равна $z$. Вычислите интеграл
$$
I=\oint _{|z|=1}\frac{dz}{g(z)-3z}.
$$

\nz
Вычислите интеграл
$$
\oint_{|z|=\frac{1}{2}}\frac{dz}{(2+g(z))\sin z},
$$
где $g(z)$ -- однозначная ветвь функции $\sqrt{z-1}$ в круге
$|z|<\frac{1}{2}$, такая, что $g(0)=i$.

\nz
Пусть $f(z)$ -- регулярная ветвь функции $\sqrt[3]{2z-8}$ в комплексной плоскости
с разрезом по лучу $[4, 4-i\infty ]$ такая, что $f(8)=-1-i\sqrt{3}$. Вычислите интеграл
$$
I=\oint _{|z-2|=3/2}\frac{dz}{f(z)-z+2}.
$$


\nz
Вычислите интегралы с помощью вычетов: 

а) $\displaystyle{\int\limits_{-1}^{1}
\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}\,\,$; 
б) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}
\sqrt{\frac{1-x}{x}}\, dx} \,\,$.

\nz
Вычислите интеграл с помощью вычетов:
$\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}
\frac{x^{\alpha -1}}{x+1}\,dx} \,\,$ ($0<\alpha <1$).

\nz
Вычислите интегралы с помощью вычетов: 
 

а) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}\left (\frac{x}{1-x}\right )^{\alpha}
\frac{dx}{x+1}\,\,}$ ($-1<\alpha <1$);
б) $\displaystyle{\int\limits_{1}^{2}\sqrt[5]{\frac{(2-x)^3}{(x-1)^3}}\, dx}$;\\
в) $\displaystyle{\int\limits_{-2}^{2}\frac{dx}{\sqrt[4]{(2+x)^2 (4-x^2)}}}\,$.

\nz
Вычислите интегралы с помощью вычетов: 

а) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^3+1}}\,$;
б) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\log x \, dx}{x^2+a^2} \,\,\, (a>0)}$;
в) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\log x \, dx}{(x+1)(x+2)^2}\,}$;\\
г) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\log x \, dx}{x^2-1}}\,$.

\nz
Вычислите интегралы с помощью вычетов: 

а) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}\left (\frac{\log x}{x-1}\right )^2 dx}$;
б) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{x}\, \log x dx}{x^2+1}}$;
в) $\displaystyle{\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\log |x^2-1|}{x^2+1}\, dx}$;\\
г) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}
\frac{\log (1+x^2)}{x^2}\, \frac{dx}{1+x^2}}$.








\end{document}