\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{xspace}

\pagestyle{empty}

\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}0

\newcommand*{\nz}{%
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
\textbf{\thezadacha.} }

\let\C\relax
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}

\let\Re\relax
\let\Im\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}


\begin{document}

\begin{center}\large\sc
  Теория функций комплексного переменного -- 2025\\ Листок 2
\end{center}

{\small
Дробно-линейной функцией (д.-л. функцией) называется функция вида
$$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\,, \qquad a,b,c,d \in \C, \qquad
ad-bc \neq 0.
$$
}

\nz
Докажите, что д.-л. функция осуществляет взаимно-однозначное 
отображение $\bar{\C}\to \bar{\C}$.

\nz
Докажите, что д.-л. 
отображения образуют группу.
Какой группе она изоморфна?

\nz
Докажите, что д.-л. функция переводит окружности
и прямые в окружности (или прямые).



\nz
Напишите д.-л. функцию, переводящую три произвольные 
(различные) точки $z_1, z_2, z_3$ в три другие (различные) 
точки $w_1, w_2, w_3$. Единственна ли она?

\nz
Во что преобразуется квадрант $x>0, y>0$ при отображении $\displaystyle{
w=\frac{z-i}{z+i}}\, $?

\nz
Найдите все дробно-линейные функции $f$ такие, что $f(f(z))=z$. 



\nz
Докажите, что бидифференциал $\displaystyle{\frac{dz_1 dz_2}{(z_1-z_2)^2}}$
инвариантен относительно д.-л. преобразований.


\vspace{5mm}

{\small
Двойным отношением четырех различных точек $z_1, z_2, z_3, z_4$ называется
$$
(z_1, z_2, z_3, z_4)=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}.
$$
Производной Шварца (шварцианом) голоморфной
функции $w(z)$ называется 
выражение 
$$\displaystyle{S(w;z):=\frac{w'''(z)}{w'(z)}-\frac{3}{2}
\left (\frac{w''(z)}{w'(z)}\right )^2}.$$
}

\nz
Докажите следующее тождество, связывающее двойное отношение со шварцианом:
$$
\frac{(w(z+ta), w(z+tb), w(z+tc), w(z+td))}{(a,b,c,d)}=
1+\frac{t^2}{6}\, (a-b)(c-d)S(w;z) +O(t^3)
$$
($t\to 0$).

\nz
Докажите, что д.-л. функция сохраняет двойное отношение:
$$
(f(z_1), f(z_2), f(z_3), f(z_4))=(z_1, z_2, z_3, z_4).
$$




\nz
\
Докажите, что 
$S(w;z)=0$ тогда и только тогда, когда $w(z)$ -- д.-л. функция.

\nz
Докажите, что четыре различные точки лежат на одной окружности
(или на одной прямой), если и только если их двойное отношение
вещественно. 

\nz
Докажите, что
$$
S(w;z)=6  \lim_{\zeta \to z}\, \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \zeta}\,
\log \frac{w(z)-w(\zeta )}{z-\zeta}.
$$


\nz
Пусть $w(z)$, $f(w)$ -- две функции, $F$ -- их композиция:
$F(z)=f(w(z))$. Докажите, что
$$
S(F;z)=S(f;w)\Bigl (\frac{dw}{dz}\Bigr )^2 +S(w;z).
$$

\nz
Пусть $f_1, f_2$ -- два линейно независимых решения дифференциального уравнения
$f''+Q(z)f=0$. Покажите, что $Q(z)=\frac{1}{2}\, S(f_1/f_2; z)$. 




\nz
Найдите общий вид д.-л. изоморфизмов  
(а) $\mathbb{H} \to \mathbb{H}$, (б) $\mathbb{U} \to \mathbb{U}$, 
(в) $\mathbb{U} \to \mathbb{H}$
($\mathbb{H}$ -- верхняя полуплоскость, $\mathbb{U}$ -- единичный круг).

\nz
Отобразите верхнюю полуплоскость на единичный круг так, чтобы 
$w(2i)=0$, $\mbox{arg}\, w'(2i)=0$.



\nz
Сколько неподвижных точек может иметь д.-л. преобразование?
Докажите, что если д.-л. преобразование имеет две неподвижные точки,
то произведение производных в этих точках равно 1.

\nz
Д.-л. преобразование с одной неподвижной точкой $z_0$ называется параболическим.
Докажите, что параболическое преобразование можно записать в канонической форме
$$
\frac{1}{w-z_0}=\frac{1}{z-z_0}+h
$$
если $z_0\neq \infty$ и $w=z+h$ если $z_0=\infty$.

\nz
Докажите, что д.-л. преобразование с двумя различными неподвижными точками $z_1, z_2$
можно представить в канонической форме
$$
\frac{w-z_1}{w-z_2}=k\frac{z-z_1}{z-z_2}
$$
если $z_{1,2}\neq \infty$ и $w-z_1=k(z-z_1)$ если $z_2=\infty$. Преобразование
называется гиперболическим, если $k>0$, эллиптическим если $|k|=1$ ($k\neq 1$) и
локсодромическим в общем случае комплексного $k$. 

\end{document}