\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{xspace}

\pagestyle{empty}

\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}0

\newcommand*{\nz}{%
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
\textbf{\thezadacha.} }

\let\C\relax
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}

\let\Re\relax
\let\Im\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}


\begin{document}

\begin{center}\large\sc
Теория функций комплексного переменного -- 2025\\ листок 4
\end{center}




\nz
Вычислите интеграл $\displaystyle{\int_{\gamma}(z-a)^n dz}$ 
по контуру $\gamma (t)=a+re^{it}$, \\$0\leq t<2\pi$, $r>0$, $n\in \mathbb{Z}$.


\nz
Вычислите интеграл $\displaystyle{\int_{\gamma}
z^n dz}$, где $n\in \mathbb{Z}$, а $\gamma$ -- некоторый путь из $a$ в $b$. 
(Убедитесь, что при $n\neq -1$ интеграл
не зависит от выбора пути, а при $n=-1$ зависит, и опишите как.)

\nz
Вычислите интеграл $\displaystyle{\oint_{|z|=1}
\frac{dz}{z^2 +\frac{1}{4}}}$ 
по единичной окружности.

\nz
Вычислите интеграл 
$\displaystyle{\oint_{\gamma}\frac{2z^2+5z+8}{z(z+1)^2}}\, dz$, где контур 
$\gamma$ -- окружность $|z|=3$.

\nz
Найдите все возможные значения интеграла $\displaystyle{
\int_{C} \frac{dz}{z(z^2-1)}}$ при различных выборах контура $C$ 
($C$ -- замкнутый контур без самопересечений, не проходящий ни через 
одну из точек $0,1,-1$).

\nz
Покажите, что если путь $\gamma$, соединяющий точки 0 и 1, не проходит через
точки $\pm i$, то
$$
\int_{\gamma}\frac{dz}{1+z^2} =\frac{\pi}{4}+k\pi,
$$
где $k$ -- целое число.


\nz 
Вычислите интеграл $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\cos (z^{-1})dz}$.

\nz
Приведите пример рациональной функции $f$ и замкнутого контура $\gamma$
таких, что $\displaystyle{\oint_{\gamma}f(z)dz=1}$ и 
$\displaystyle{\oint_{\gamma}zf(z)dz =-1}$.

\nz
Вычислите интеграл $\displaystyle{\int_{\gamma}\bar z dz}$,
где $\gamma$ -- окружность радиуса $R$ с центром в точке $a\in \C$, 
проходимая против часовой стрелки.

\nz
Вычислите интеграл $\displaystyle{\int_{\gamma}
\frac{\bar z}{z}\, dz}$,
где $\gamma$ --  окружность радиуса $R$ с центром в точке $a$
($|a|\neq R$).

\nz
Пусть $P(z)$ -- многочлен. Докажите, что 
$$\displaystyle{
\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-a|=R}P(z)d\bar z =-R^2 P'(a)}.
$$

\nz
Пусть $\gamma$ -- гладкий замкнутый контур, а функция $f$ голоморфна в
окрестности кривой $\gamma$. Докажите, что 
$\displaystyle{\oint_{\gamma}\overline{f(z)}f'(z)dz}$ -- чисто мнимое
число. 

\nz
Вычислите интегралы 

(а) $\displaystyle{\int \!\!\! \int_{\C}
e^{-\alpha |z|^2}\, dx \, dy}$,

(б) $\displaystyle{\int \!\!\! \int_{\C}
e^{-\alpha |z|^2 +az+\bar a \bar z}\, dx \, dy}$. 



\vspace{1cm}



Направление обхода контуров в контурных интегралах предполагается положительным
(против часовой стрелки).


\end{document}