\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{xspace}

\pagestyle{empty}

\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}0

\newcommand*{\nz}{%
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
\textbf{\thezadacha.} }

\let\C\relax
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}

\let\Re\relax
\let\Im\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}


\begin{document}

\begin{center}\large\sc
  Теория функций комплексного переменного - 2025\\ листок 6
\end{center}



\nz
Разложите в ряд Тейлора следующие функции 
и найдите области сходимости рядов:

(а) $f(z)=\displaystyle{\frac{z}{1-z-z^2}}\,\,$ в точке $z=0$,

(б) $f(z)=\displaystyle{\frac{z}{z^2-2z+5}}\,\,$ в точке $z=1$, 

(в) $f(z)=\displaystyle{\frac{z}{(1-z)^2}}\,\,$ в точке $z=0$ 
({\small эта функция называется {\it функцией} $\phantom{aaaaaa}$ {\it Кёбе}. На что она 
отображает единичный диск?}),

(г) $f(z)=\displaystyle{\sin ^2 z}\,\,$ в точке $z=0$,

(д)  $f(z)=\displaystyle{\frac{e^z-z-1}{z^2}}\,\,$ в точке $z=0$,

(е)   $f(z)=\displaystyle{\int_0^z \frac{e^t -1}{t}\, dt}\,\,$ в точке $z=0$.


\nz
Пусть голоморфная в некотором круге с центром в нуле функция $f(z)$ удовлетворяет уравнению
$f(z)=z+f(z^2)$. Найдите разложение $f(z)$ в ряд и область сходимости ряда.

\nz 
Найдите $f'''(0)$, где $f(z)=e^{\sin z}$.


\nz
Найдите радиусы сходимости рядов: 

(а) $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{n}{2^n}\, z^n},\,\, $ 
(б) $ \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\, z^n},\,\, $
(в) $ \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}z^{n!},}\,\,$
(г) $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\cos (in) \, z^{n}, \,\, }$\\
$\phantom{aaa}$ (д) $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} (3+(-1)^n)^n z^n }$.

\nz
Найдите суммы рядов $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}z^n/n}$,
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}n^2z^n}$.





\nz
Докажите, что в разложении 
$\displaystyle{
\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}\, z^n}
$
все коэффициенты $B_n$ (числа Бернулли) с нечетными номерами равны $0$ кроме $B_1$
и найдите радиус сходимости ряда.






\nz
Для любого $a\in \C$ положим $(a)_n =a(a+1)(a+2)\ldots (a+n-1)$ (символ 
Похгаммера). 

(a) Определите радиус сходимости ряда
$$
F(a,b;c;z)= 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a)_n (b)_n}{n! (c)_n} \, z^n.
$$

(б) Докажите, что функция $F=F(a,b;c;z)$, задаваемая этим рядом,
удовлетворяет дифференциалному уравнению
$$
z(1-z)\frac{d^2 F}{d z^2}+[c-(a+b+1)z]\frac{d F}{d z}-ab F=0.
$$
{\small Функция $F(a,b;c;z)$ называется {\it гипергеометрической 
функцией}}.

(в) Найдите второе решение гипергеометрического дифференциального уравнения в
предположении, что оно имеет вид $z^{\alpha}f(z)$, где $\alpha$ -- константа,
а $f(z)$ голоморфна в 0. 




\nz
Найдите все особые точки и определите их характер 
у следующих функций:
(а) $\displaystyle{\frac{1}{1-\sin z}}\,\,$, 
(б) $\displaystyle{\frac{z}{\sin (z^3)}}\,\,$, 
(в) $\displaystyle{\ctg (1/z)}\,\,$,
(г) $\displaystyle{\frac{1}{e^{z^2}+1}}\,\,$,\\
(д) $\displaystyle{\frac{1}{e^{z}-1}-\frac{1}{z}}\,\,$,
(е) $\displaystyle{\frac{z^3}{\sin ^2 \frac{\pi}{z+1}}}\,$.




%\nz
%Пусть функция $f$ голоморфна в проколотой 
%окрестности точки $a$ и ${\rm Im}\, f(z)>0$ всюду в этой окрестности.
%Какого типа особенность может быть в точке $a$?

\end{document}