\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{xspace}

\pagestyle{empty}

\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}0

\newcommand*{\nz}{%
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
\textbf{\thezadacha.} }

\let\C\relax
%\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
%\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}

\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}
\newcommand*{\HH}{\ensuremath{\mathbb H}\xspace}

\let\Re\relax
\let\Im\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}


\begin{document}

\begin{center}\large\sc
Теория функций комплексного переменного - 2026\\ листок 7
\end{center}







\nz
С помощью интегральной формулы Коши вычислите интегралы
(а) $\displaystyle{\int_{|z|=2}\frac{e^z dz}{z^2-1}}$,
(б) $\displaystyle{\int_{|z-a|=a}\frac{zdz}{z^4-1}}$, $a>1$,
(в) $\displaystyle{\int_{|z-1|=1}\frac{ze^zdz}{(z-1)^3}}$.

\nz
Пусть $f(z)$ -- голоморфная функция в верхней полуплоскости, непрерывно продолжаемая
на вещественную ось, причем $\lim\limits_{|z|\to \infty} f(z)=0$.
Докажите интегральную формулу Шварца
$$
f(z)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{{\rm Im} f(x)}{x-z}\, dx.
$$

\nz
Пусть $f(z)$ -- голоморфная функция в единичном круге, непрерывно продолжаемая
на его границу. Докажите интегральную формулу Пуанкаре
$$
f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \!{\rm Re} f(e^{i\theta})
\frac{e^{i\theta}+z}{e^{i\theta}-z}\, d\theta +i{\rm Im} f(0).
$$

\nz
Найдите вычеты дифференциальных форм в их особых точках:\\
а) $\displaystyle{\frac{z dz}{z^2+1}}$,
б) $\displaystyle{\frac{e^z dz}{(z-1)^2}}$,
в) $\displaystyle{\frac{z^{}dz}{\sin ^2 z}}$,
г) $\displaystyle{\frac{z^{2n}dz}{(z-1)^n}}$,
д) $\displaystyle{\frac{e^{1/z}dz}{1-z}}$, 
е) $\sin z \, \sin (1/z) \, dz$,\\
ж) $\displaystyle{\frac{\sin 3z - 3\sin z}{\sin z \, (\sin z -z)}\, dz}$ в точке
$z=0$,
з) $\displaystyle{z^2 \sin \frac{1}{z+1} \, dz}$,
и) $\displaystyle{\frac{dz}{z(e^{2z}-1)}}$ в точке
$z=0$, 
к) $\displaystyle{e^{z/(1-z)}dz}$.

\nz
Докажите, что для четной функции $f(z)$ имеет место равенство
$$\mbox{res}_{z=a}f(z)dz =-\mbox{res}_{z=-a}f(z)dz$$ а для нечетной
$$\mbox{res}_{z=a}f(z)dz =\mbox{res}_{z=-a}f(z)dz$$

\nz
Вычислите интегралы:
а) $\displaystyle{\oint_{|z|=4}\frac{z^4 dz}{e^z +1}}$,
б) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\frac{e^z dz}{(2z+1)^2 (z+2)}}$, \\
в) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}(z+1)e^{1/z}dz}$, 
г) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\frac{z^3 dz}{2z^4+1}}$,
д) $\displaystyle{\oint_{|z|=3}\frac{z^3-1}{z-1}\left (e^{\frac{1}{z}}+
e^{\frac{1}{z-1}}+e^{\frac{1}{z-2}}\right )dz}$,
е) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\frac{dz}{e^{2/z}-e^{1/z}}}$,
ж) $\displaystyle{\oint_{|z|=3}\frac{dz}{(z-1)^2(1-\cos z)}}$,
з) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\frac{z-(\log 2)^{-1}}{e^{1/z}-2}\, dz}$.

\nz
Пусть функция $f(z)$ регулярна в замыкании конечной области $D$,
а точки $a_1, \ldots , a_n$ лежат в $D$ и попарно различны. Обозначим
$P(z)=(z-a_1)\ldots (z-a_n)$ и
$$
\Phi (z)=-\frac{P(z)}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{f(\xi )}{P(\xi )}
\, \frac{d\xi}{\xi -z}, \quad z\notin D.
$$
Докажите, что функция $\Phi (z)$ аналитически продолжается на всю
плоскость и представляет собой многочлен степени $n-1$, причем
$\Phi (a_k)=f(a_k)$, $k=1, \ldots , n$. (Многочлен $\Phi (z)$ 
называется интерполяционным многочленом Лагранжа.)

\nz
Пусть $p_1, \ldots , p_N$ -- $N$ различных комплексных чисел.
Докажите тождество
$$
\sum_{i=1}^N \prod_{j\neq i}^N \frac{p_i+p_j}{p_i-p_j}=
\frac{1}{2}\Bigl (1-(-1)^N\Bigr ).
$$
{\it Указание: воспользуйтесь тем, что 
сумма вычетов рациональной функции, включая вычет
в $\infty$, равна 0.}

\nz
Пусть $w_1, \ldots , w_N$ -- $N$ различных комплексных чисел.
Найдите сумму
$$
S=\sum_{i=1}^N \prod_{j\neq i}^N \frac{1-w_iw_j}{w_i-w_j}.
$$



\end{document}