\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{xspace}

\pagestyle{empty}

\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}0

\newcommand*{\nz}{%
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
\textbf{\thezadacha.} }

\let\C\relax
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}

\let\Re\relax
\let\Im\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}


\begin{document}

\begin{center}\large\sc
  Теория функций комплексного переменного -- 2025\\ листок 11
\end{center}


\nz
Рассмотрим аналитическое продолжение функции
$f(z)=\sqrt{z^2+9}$, заданной в окрестности точки 
$z=4$ условием $f(4)=5$, вдоль  
а) полуокружности $|z|=4$,
${\rm Im} \, z\geq 0$, б) полуокружности $|z|=4$,
${\rm Im} \, z< 0$, с) отрезка $[-4, 4]$.
Чему равно $f(-4)$ во всех этих случаях?


\nz
Фиксируем какую-либо ветвь функции
$f(z)=\sqrt{z^2-9}$ в окрестности точки  $z=5$ и
рассмотрим два 
способа ее аналитического продолжения 
из точки $z=5$ в точку $x\in [-3,3]$: вдоль
дуги полуокружности в верхней полуплоскости  и 
вдоль
дуги полуокружности в нижней полуплоскости. 
Результаты обозначим $f(x+i0)$ и $f(x-i0)$ соответственно.
Как связаны между собой $f(x+i0)$ и $f(x-i0)$?

\nz
Пусть $D$ -- вся комплексная плоскость с разрезами по отрезкам
$[-1, i]$ и $[-i, 1]$, а $h(z)$ -- регулярная ветвь функции $\sqrt{1-z^4}$,
положительная на интервале $(-1, 1)$. Найдите значения $h(\sqrt{5/3})$,
$h(i\sqrt{5/3})$. 

\nz
Пусть $h(z)$ -- регулярная ветвь функции $\sqrt[3]{1-z^2}$ в области $D$,
удовлетворяющая условию $h(0)=1$. Найдите значение $h(-3)$ в случаях, когда
область $D$ а) вся комплексная плоскость с разрезами по лучам $[1, +\infty ]$ и
$[-1, -1+i\infty ]$, б) вся комплексная плоскость с разрезами по лучам
$[1, 1-i\infty ]$ и $[-1, -1-i\infty ]$.


\nz
Пусть $h(z)$ -- регулярная ветвь многозначной функции 
$\displaystyle{\log \frac{1-z}{1+z}}$ в области $\C \setminus [-1, 1]$, такая,
что $h(0+i0)=0$. Найдите значения $h(0-i0)$, $h(i)$, $h(\infty )$. Разложите 
функцию $h(z)$ в ряд Лорана по степеням $z$ в окрестности $\infty$.


\nz
Пусть $D$ -- вся комплексная плоскость с разрезами по лучам $[-\infty , -1]$ и
$[1, +\infty ]$, а $h(z)$ -- регулярная ветвь многозначной функции $\log (1-z^2)$ 
в области $D$, удовлетворяющая условию $h(0)=0$. Найдите $h(i)$, $h(-i)$,
$h(2+i0)$, $h(2-i0)$. 




\nz
Исследуйте поведение каждой из однозначных ветвей заданных аналитических 
функций в окрестности указанных точек и определите тип особенностей 
(если они есть): \\
а) $\displaystyle{\frac{z}{1+\sqrt{z-3}}\, , \,\, z=4}$ , б) $\displaystyle{
z+\sqrt{z^2 -1}\, , \, z=\infty} $,
в) $\displaystyle{\frac{2z+3}{1+z -2\sqrt{z}}\, , \, z=1} $, \\
г) $\displaystyle{\cos  \frac{1}{1+\sqrt{z}}}\,, z=1$,
д) $\displaystyle{\sin \frac{1}{1+\sqrt{z/(z-1)}}}\,, z=\infty$.



\nz
Найдите вычеты $\mbox{res}_{z=1}(f(z)dz)$ для каждой из однозначных ветвей функции
а) $f(z)=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2-z}+1}}$, б) $f(z)=
\exp \left ( \displaystyle{\frac{1}{1+\sqrt{z}}}\right )$.


\end{document}







\end{document}