\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{xspace}

\pagestyle{empty}

\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}0

\newcommand*{\nz}{%
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
\textbf{\thezadacha.} }

\let\C\relax
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}
\newcommand*{\HH}{\ensuremath{\mathbb H}\xspace}
\newcommand*{\UU}{\ensuremath{\mathbb U}\xspace}

\let\Re\relax
\let\Im\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}


\begin{document}

\begin{center}\large\sc
  Теория функций комплексного переменного -- 2026\\ 
  Листок 5
\end{center}


\nz
Найдите конформное отображение полукруга $|z|<1$, ${\rm Im}\, z>0$ 
на верхнюю полуплоскость.

\nz
Найдите конформное отображение полуполосы ${\rm Re}\, z>0$, 
$0< {\rm Im}\, z <1$ на верхнюю полуплоскость.


\nz
Найдите конформное отображение верхней полуплоскости с выброшенным отрезком
от $0$ до $i$ на верхнюю полуплоскость.

\nz
Найдите конформное отображение внешности эллипса с полуосями 
$a$, $b$ ($a>b$)
на внешность единичного круга. 

\nz
Найдите конформное отображение области $D$, являющейся верхней
полуплоскостью ${\rm Im}\, z>0$ с разрезом по дуге окружности
$|z|=1$, $0\leq {\rm arg}\, z \leq \alpha$, где $0<\alpha <\pi$,
на верхнюю полуплоскость.

\nz
Найдите конформное отображение области $D$, являющейся полуполосой
${\rm Re}\, z>0$, $0<{\rm Im}\, z < \pi$ с разрезом по отрезку
$[\frac{1}{2}\pi i, 1+\frac{1}{2}\pi i]$, на верхнюю полуплоскость.

\nz
Найдите конформное отображение $z(w)$ внешности единичного круга
$\UU$ на расширенной комплексной плоскости
$\hat \C$ (т.е. некомпактной области $\hat \C \setminus \UU$)
на расширенную комплексную плоскость с разрезом по дуге 
$\gamma$ 
единичной окружности с углом раствора 
$2\alpha$, 
$$\gamma = \bigl \{z\in \C \bigl | \, |z|=1, 
2\pi \! -\! \alpha \! < \! \mbox{arg}\, z \! < \! \alpha \bigr \}
\quad (0 < \alpha <\pi ),
$$
(т.е. на область $\hat \C \setminus \gamma$),
такое, что $z(\infty )=\infty$ и $z'(\infty )\in \R_{+}$.


\nz
Пусть $\Gamma$ -- гладкая кривая $\Gamma : [0, +\infty )\to \HH$ в верхней полуплоскости 
$\HH$, начинающаяся в точке $\Gamma (0)\in \R$ вещественной оси, и пусть $\Gamma_t$ --
часть кривой $\Gamma_t:=\Gamma ([0,t])$. Через $g(z,t)$ обозначим функцию, осуществляющую
конформное отображение области $\HH \setminus \Gamma_t$ на $\HH$, нормированную условием
$g(z, t)=z+u(t)z^{-1}+O(z^{-2})$, $z\to \infty$, $t>0$. Докажите, что существует 
непрерывная вещественнозначная функция $\xi (t)$, такая, что функция $g(z, t)$ удовлетворяет
дифференциальному уравнению
$$
\frac{\partial g(z, t)}{\partial t} = \frac{1}{g(z, t) -\xi (t)} \, 
\frac{\partial u}{\partial t}, \qquad g(z, 0)=z.
$$
Это уравнение называется (хордовым) уравнением Левнера и 
играет важную роль в теории 
конформных отображений.



\end{document}