\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{xspace}

\pagestyle{empty}

\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}0

\newcommand*{\nz}{%
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
\textbf{\thezadacha.} }

\let\C\relax
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}

\let\Re\relax
\let\Im\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}


\begin{document}

\begin{center}\large\sc
  Теория функций комплексного переменного -- 2025\\ листок 8
\end{center}





\nz
Вычислите интегралы Френеля 
$\displaystyle{
\int_{0}^{\infty}\! \cos x^2 dx, \;\; \int_{0}^{\infty}\! \sin x^2 dx}
$.

\nz
Вычислите интеграл 
$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\cos ax -\cos bx}{x^2}\, dx}$.

\nz
Вычислите интегралы 
а) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\, dx}$,
б) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\, 
\frac{\sin (x/3)}{x/3}\, dx}$.

\nz
Вычислите интеграл 
$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\cos x\, \frac{\sin x}{x}\, dx}$.




\nz
Вычислите определенные интегралы:
а) $\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\!\!\frac{d\varphi}{a+b\cos \varphi}}$ ($a>b>0$),\\
б) $\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\!\!
e^{\cos \varphi}\cos (n\varphi -\sin \varphi )d\varphi}$,
в) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{x^2+1}{x^4+1}\, dx}$,
г) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^n+1}}$,\\
д) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\cos ax}{x^2+b^2}\, dx}$,
е) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin ax}{x^2+b^2}\, dx}$,
ж) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin ax}{x(x^2+b^2)}\, dx}$,
з) $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ax}dx}{1+e^x}}\;\;$ ($0<a<1$),\\
и) $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos kx\, dx}{\cosh x}}$.

\nz
Вычислите определенные интегралы 
а) $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos kx\, dx}{\cosh x +\cosh a}}\;\;
(k, a>0)$,
(б) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-\pi x}\, \frac{\sin ax}{\sinh \pi x}\, dx}$,
(в) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}\, dx}$,
г) $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ax}-e^{bx}}{1-e^x}\, dx}\;\;
(0<a,b<1)$.
(д) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{x^2 dx}{\cosh x}\,} $,
(е) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{xdx}{\sinh x}}$,
(ж) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+\pi^2)\cosh x}\,} $.

\end{document}