1732 lines
71 KiB
TeX
1732 lines
71 KiB
TeX
\documentclass[12pt]{amsart}
|
||
\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb,graphicx}
|
||
\usepackage{pstricks,pst-node,verbatim}
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
|
||
\newtheorem{theorem}{Теорема}
|
||
\newtheorem{lemma}{Лемма}
|
||
\newtheorem{remark}{Замечание}
|
||
\newtheorem{corollary}{Следствие}
|
||
\newtheorem{proposition}{Предложение}
|
||
\newtheorem{definition}{Определение}
|
||
\newtheorem{exercise}{Упражнение}
|
||
\theoremstyle{definition}
|
||
\newtheorem{p}{}
|
||
\newtheorem{example}{Пример}
|
||
|
||
\def\N{\mathbb N}
|
||
\def\Z{\mathbb Z}
|
||
\def\Q{\mathbb Q}
|
||
\def\R{\mathbb R}
|
||
\def\C{\mathbb C}
|
||
\def\F{\mathbb F}
|
||
\def\Pc{\mathcal{P}}
|
||
\def\0{\varnothing}
|
||
\def\sm{\setminus}
|
||
\renewcommand\le{\leqslant}
|
||
\renewcommand\ge{\geqslant}
|
||
|
||
\def\Re{\mathrm{Re}}
|
||
\def\Im{\mathrm{Im}}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\tableofcontents
|
||
|
||
{\small Следующий список задач для семинаров основан на листочках, подготовленных А.В. Забродиным.
|
||
Любая из перечисленных ниже задач, за исключением задач со звездочкой,
|
||
может встретиться на промежуточной контрольной или итоговом экзамене
|
||
(а в качестве бонусной задачи может встретиться и задача со звездочкой).
|
||
|
||
Если задача помечена как \textbf{(ДЗ)}, то она может встретиться в домашнем задании.
|
||
Эти задачи можно обсуждать на семинаре, но только по инициативе студентов, пытавшихся их
|
||
решить, но испытавших какие-либо сложности.
|
||
Целью обсуждения в этом случае является преодоление возникших сложностей.
|
||
|
||
Если задача помечена звездочкой, то разбор ее решения на семинаре следует отложить
|
||
на некоторое время --- чтобы студенты могли самостоятельно над ней подумать.
|
||
Задачи со звездочкой можно сдавать лично преподавателю вне семинарских часов.
|
||
Преподаватель может устанавливать дедлайны по отдельным задачам со звездочкой так, что до дедлайна
|
||
можно эту задачу сдавать в индивидуальном порядке, а после дедлайна задача
|
||
может быть разобрана на семинаре, если возникнет такой запрос со стороны студентов.
|
||
|
||
Задачи, помеченные контурным кружочком ($\circ$), рекомендуется разобрать на семинаре в каждой группе.
|
||
Остальные задачи можно опускать при нехватке времени.
|
||
Задачи, помеченные заполненным кружочком ($\bullet$), возможно, будут обсуждаться на лекции.}
|
||
|
||
\section{Комплексные числа}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите действительные и мнимые части следующих комплексных чисел:
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
(а)$\circ$ $\displaystyle{\frac{5}{1+2i}+\frac{5}{2-i}}$,
|
||
|
||
(б) $\displaystyle{\left (\frac{1-i}{1+i}\right )^3}$,
|
||
|
||
(в) $\displaystyle{\frac{(1-i\sqrt{3})^6}{(1+i)^4}}$,
|
||
|
||
(г) $\displaystyle{\left (\frac{i^5+2}{i^{19}+1}\right )^2}$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите модули и аргументы следующих комплексных чисел:
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
(а)$\circ$ $\displaystyle{(\sqrt{3}-i)^{2026}}$,
|
||
|
||
(б) $\displaystyle{\left (\frac{1+i}{1-i}\right )^2}$,
|
||
|
||
(в) $\displaystyle{\frac{1+\cos \alpha +i\sin \alpha}{1+\cos \alpha -i\sin \alpha},
|
||
\quad 0<\alpha <\frac{\pi}{2}}$,
|
||
|
||
(г) \textbf{(ДЗ)}
|
||
$\displaystyle{\frac{e^{i\alpha}+1}{e^{i\alpha}-1}, \quad 0<\alpha <2\pi}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{(ДЗ)}
|
||
Докажите, что многочлен
|
||
$$
|
||
f(x)=(\cos \alpha +x\sin \alpha )^n -\cos n\alpha - x\sin n \alpha$$
|
||
делится на $x^2+1$.
|
||
\emph{Указание:} воспользуйтесь тем, что $f(i)=0$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Выразите $\sin 4x$ как многочлен от $\sin x$, $\cos x$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}$\circ$
|
||
Решите уравнение $\bar z =z^{n-1}$, $n\in \mathbb{N}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Решите уравнения $z^2=5-12i$, $z^4+4=0$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}$\circ$
|
||
Пусть $\zeta_1, \ldots , \zeta_n$ --- все корни уравнения $z^n=1$, где $n$ ---
|
||
натуральное число. Найдите сумму $\zeta_1^k+\ldots +\zeta_n^k$ для каждого
|
||
натурального $k$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{(ДЗ)}
|
||
Точки $z_1$ и $z_2$ --- смежные вершины правильного $n$-угольника.
|
||
Найдите вершину $z_3$, смежную с $z_2$ ($z_3\neq z_1$, нумерация против
|
||
часовой стрелки).
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что комплексные числа $a,b,c$ представляют вершины равностороннего
|
||
треугольника тогда и только тогда, когда
|
||
$$
|
||
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Найдите произведение длин отрезков, соединяющих вершину правильного $n$-угольника
|
||
со всеми остальными вершинами, если длина стороны равна 1.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Дайте геометрическое описание множеств
|
||
|
||
(а) $\{ z \colon |z-z_1|=|z-z_2|\}$,
|
||
|
||
(б) $\{ z \colon |z-1|+|z+1|=2a \}$ ($a>1$),
|
||
|
||
(в) \textbf{(ДЗ)} $\{ z \colon \mbox{Re}(1/z)=\frac{1}{2} \}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $a,b,c,d$ --- четыре различные точки на единичной окружности.
|
||
Найдите точку перечесения прямых $ab$ и $cd$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Докажите равенство
|
||
$$
|
||
|\sqrt{z^2-1}+z|+|\sqrt{z^2-1}-z|=|z-1|+|z+1|.
|
||
$$
|
||
В левой части в оба раза берется одно и то же значение квадратного корня.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Пусть $P(z)$ --- многочлен степени $n$, имеющий $n$ вещественных корней
|
||
(с учетом кратности), $a$ --- произвольное вещественное число. Докажите,
|
||
что многочлен $Q(z)=P(z+ia)+P(z-ia)$ тоже имеет $n$ вещественных корней.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=1}^{\infty} n! z^{n!}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Верно ли, что степенной ряд для $e^z$ сходится равномерно на $\C$?
|
||
Обоснуйте ответ.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
|
||
\section{Дробно-линейные преобразования}
|
||
\label{s:fraclin}
|
||
|
||
{\small
|
||
\emph{Дробно-линейной функцией}, или \emph{дробно-линейным преобразованием},
|
||
называется функция вида
|
||
$$
|
||
f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\,, \qquad a,b,c,d \in \C, \qquad
|
||
ad-bc \neq 0.
|
||
$$
|
||
}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что дробно-линейное преобразование осуществляет взаимно-однозначное
|
||
отображение $\bar{\C}\to \bar{\C}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}$\bullet$
|
||
Докажите, что дробно-линейные преобразования образуют группу.
|
||
Какой группе она изоморфна?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}$\bullet$
|
||
Докажите, что дробно-линейная функция переводит окружности
|
||
и прямые в окружности (или прямые).
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Напишите дробно-линейную функцию, переводящую три произвольные
|
||
(различные) точки $z_1$, $z_2$, $z_3$ в три другие (различные) точки $w_1$, $w_2$, $w_3$.
|
||
Единственна ли она?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Во что преобразуется квадрант $x>0, y>0$ при отображении $\displaystyle{
|
||
w=\frac{z-i}{z+i}}\, $?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите все дробно-линейные функции $f$ такие, что $f(f(z))=z$ для всех $z\in\C$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Докажите, что бидифференциал $\displaystyle{\frac{dz_1 dz_2}{(z_1-z_2)^2}}$
|
||
инвариантен относительно дробно-линейных преобразований.
|
||
Как именно дробно линейное преобразование должно действовать на
|
||
бидифференциал, предлагается восстановить из здравого смысла;
|
||
решение задачи должно начинаться с четкого определения этого действия.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\vspace{5mm}
|
||
|
||
{\small
|
||
\emph{Двойным отношением} четырех различных точек $z_1, z_2, z_3, z_4$ называется
|
||
$$
|
||
(z_1, z_2, z_3, z_4)=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}.
|
||
$$
|
||
}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что дробно-линейная функция сохраняет двойное отношение:
|
||
$$
|
||
(f(z_1), f(z_2), f(z_3), f(z_4))=(z_1, z_2, z_3, z_4).
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что четыре различные точки лежат на одной окружности
|
||
(или на одной прямой), если и только если их двойное отношение
|
||
вещественно.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите общий вид дробно-линейных изоморфизмов
|
||
|
||
(а)$\bullet$ $\mathbb{H} \to \mathbb{H}$,
|
||
|
||
(б)$\bullet$ $\mathbb{D} \to \mathbb{D}$,
|
||
|
||
(в) \textbf{(ДЗ)} $\mathbb{D} \to \mathbb{H}$
|
||
|
||
($\mathbb{H}$ --- верхняя полуплоскость, $\mathbb{D}$ --- единичный круг).
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Отобразите верхнюю полуплоскость на единичный круг так, чтобы
|
||
$w(2i)=0$, $\mbox{arg}\, w'(2i)=0$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Сколько неподвижных точек может иметь дробно-линейное преобразование?
|
||
Докажите, что если дробно-линейное преобразование имеет две неподвижные точки в $\C$,
|
||
то произведение производных в этих точках равно 1.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Дробно-линейное преобразование с одной неподвижной точкой $z_0$ называется \emph{параболическим}.
|
||
Докажите, что параболическое преобразование можно записать в канонической форме
|
||
$$
|
||
\frac{1}{w-z_0}=\frac{1}{z-z_0}+h
|
||
$$
|
||
если $z_0\neq \infty$ и $w=z+h$ если $z_0=\infty$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что дробно-линейное преобразование с двумя различными неподвижными точками $z_1$, $z_2$
|
||
можно представить в канонической форме
|
||
$$
|
||
\frac{w-z_1}{w-z_2}=k\frac{z-z_1}{z-z_2}
|
||
$$
|
||
если $z_{1,2}\neq \infty$ и $w-z_1=k(z-z_1)$ если $z_2=\infty$. Преобразование
|
||
называется гиперболическим, если $k>0$, эллиптическим если $|k|=1$ ($k\neq 1$) и
|
||
локсодромическим в общем случае комплексного $k$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\section{Комплексная дифференцируемость}
|
||
|
||
\begin{p}$\circ$
|
||
Найдите все точки, в которых $\C$-дифференцируемы функции\\
|
||
а) $|z|^2$, б) $|z|z$, в) \textbf{(ДЗ)} $({\rm Re}\, z)^2$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
а) При каких комплексных $a,b,c$ функция $f(z)=az+b\bar z +z^2 +c$ имеет
|
||
комплексную производную в точке $z=0$? б) При каких вещественных $a,b$
|
||
функция $f(x,y)=ax^2+by^2+ixy$ голоморфна на всем $\C$?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}$\circ$
|
||
Пусть $f$ --- дифференцируемая в точке $a$ функция комплексного переменного.
|
||
Докажите, что функция $z\mapsto\overline{f(\bar z)}$ дифференцируема в точке $\bar a$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} $\circ$
|
||
Покажите, что функция $f: re^{i\varphi}\mapsto re^{2i\varphi}$ не
|
||
голоморфна на $\C \setminus \{0\}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
а)
|
||
Докажите, что если голоморфная в некоторой области (связном открытом множестве) функция
|
||
$f(z)$ вещественна (т.е. принимает только вещественные значения), то она
|
||
постоянна.
|
||
|
||
б) \textbf{(ДЗ)}
|
||
Пусть функция $f(z)$ голоморфна в некоторой области,
|
||
и $|f(z)|=1$ всюду в этой области. Докажите, что $f(z)\equiv {\rm const}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Восстановите аналитическую функцию $f(z)$ по условию:
|
||
|
||
а) ${\rm Re}\, f(z)=\sin x \cosh y$, $f(0)=0$,
|
||
|
||
б) ${\rm Re}\, f(z)=
|
||
x\sin x \cosh y -y\sinh y \cos x$, $f(0)=0$,
|
||
|
||
в) ${\rm Im}\, f(z)=
|
||
y\cos x \cosh y-x\sin x \sinh y$, $f(0)=2$,
|
||
|
||
г) \textbf{(ДЗ)} $|f(z)|=(x^2+y^2)e^x$,
|
||
|
||
д) $\mbox{arg}\, f(z)=xy$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $f$ --- многочлен от $z$ с комплексными коэффициентами.
|
||
Запишем $f(x+iy)$ как $u(x,y)+iv(x,y)$, где $u$ и $v$ --- многочлены от $x$, $y$ с вещественными коэффициентами.
|
||
Докажите, что %аналитическую в $\C$ функцию
|
||
%$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$
|
||
функцию $f$ можно восстановить по ее вещественной части $u$
|
||
или мнимой части $v$ с помощью формул
|
||
$$
|
||
f(z)=2u\Bigl (\frac{z+z_0}{2}, \, \frac{z-z_0}{2i}\Bigr )-
|
||
\overline{f(z_0)},
|
||
$$
|
||
$$
|
||
f(z)=2iv\Bigl (\frac{z+z_0}{2}, \, \frac{z-z_0}{2i}\Bigr )+
|
||
\overline{f(z_0)},
|
||
$$
|
||
где $z_0 \in \C$ --- некоторая точка.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\vspace{0.5cm}
|
||
{\small
|
||
Вещественнозначная функция двух вещественных
|
||
переменных $F(x,y)$ называется
|
||
{\it гармонической}, если она дважды дифференцируема и
|
||
$$
|
||
\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=0.
|
||
$$
|
||
}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Запишите оператор Лапласа $\Delta =\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}$
|
||
%в координатах $z$, $\bar z$.
|
||
через $\frac{\partial}{\partial z}$, $\frac{\partial}{\partial \overline{z}}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $f(z)$ --- голоморфная функция.
|
||
Докажите, что функции ${\rm Re} f$ и ${\rm Im} f$ --- гармонические
|
||
(т.е. $\Delta {\rm Re} f=\Delta {\rm Im} f=0$).
|
||
Что можно сказать о функциях $|f|$ и $\mbox{arg}\, f$?
|
||
В этой задаче можно предполагать, что вещественная и мнимая части функции $f$
|
||
имеют непрерывные частные производные порядка $\le 2$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $F:U\to\R$ --- гармоническая функция на связном открытом множестве $U\subset \C$.
|
||
Для каких функций $G:\R\to \R$ функция $G\circ F$ тоже будет гармонической на $U$?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите все гармонические функции вида
|
||
|
||
а) $F=\varphi (x^2+y^2)$,
|
||
|
||
б) $F=\varphi (x^2-y^2)$,
|
||
|
||
в) $F=\varphi (y/x)$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $u(x,y)$ -- гармоническая функция. Являются ли гармоническими
|
||
функции $u(x, -y)$, $u(x^2-y^2, 2xy)$?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите гармоническую функцию $u(x,y)$ на $\C$ такую, что\\
|
||
$u(\cos t, \sin t)=\cos^2 t$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\section{Производная Шварца}
|
||
\emph{Задачи из этого раздела не войдут в итоговый контроль.}
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
{\small
|
||
\emph{Производной Шварца} (шварцианом) голоморфной
|
||
функции $w(z)$ (во всех задачах про производную Шварца можно считать эту функцию
|
||
многочленом, а кратные производные воспринимать алгебраически --- как производные многочлена)
|
||
называется выражение
|
||
$$
|
||
\displaystyle{S(w;z):=\frac{w'''(z)}{w'(z)}-\frac{3}{2}
|
||
\left (\frac{w''(z)}{w'(z)}\right )^2}.
|
||
$$
|
||
}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите следующее тождество, связывающее двойное отношение со шварцианом:
|
||
$$
|
||
\frac{(w(z+ta), w(z+tb), w(z+tc), w(z+td))}{(a,b,c,d)}=
|
||
$$
|
||
$$
|
||
=1+\frac{t^2}{6}\, (a-b)(c-d)S(w;z) +O(t^3)\quad
|
||
(t\to 0).
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что
|
||
$S(w;z)=0$ тогда и только тогда, когда $w(z)$ --- дробно-линейная функция.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что
|
||
$$
|
||
S(w;z)=6 \lim_{\zeta \to z}\, \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \zeta}\,
|
||
\log \frac{w(z)-w(\zeta )}{z-\zeta}.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $w(z)$, $f(w)$ --- две функции, $F$ --- их композиция:
|
||
$F(z)=f(w(z))$. Докажите, что
|
||
$$
|
||
S(F;z)=S(f;w)\Bigl (\frac{dw}{dz}\Bigr )^2 +S(w;z).
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Пусть $f_1, f_2$ --- два линейно независимых решения дифференциального уравнения $f''+Q(z)f=0$.
|
||
Покажите, что $Q(z)=\frac{1}{2}\, S(f_1/f_2; z)$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
|
||
\section{Геометрия комплексных функций}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите, во что переводят координатную сетку следующие отображения из
|
||
$\C$ в $\C$:
|
||
(а) $z\mapsto z^2$;
|
||
(б) $z\mapsto e^z$;
|
||
(в) $z\mapsto 1/z$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Отображение $z\mapsto z+(1/z)$ определено на множестве всех ненулевых
|
||
комплексных чисел.
|
||
|
||
(а) Во что это отображение переводит множество $\{z\colon |z|>1\}$?
|
||
|
||
(б) Является ли это отображение взаимно-однозначным на данном множестве?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $A>0, C$ действительные, а $B$ -- комплексная постоянные и пусть $AC<|B|^2$.
|
||
Докажите, что уравнение
|
||
$$
|
||
A|z|^2 +\bar B z +B\bar z +C=0
|
||
$$
|
||
является уравнением окружности и найдите центр этой окружности и ее радиус.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Напишите уравнение окружности, проходящей через три различные
|
||
точки $z_1$, $z_2$, $z_3$, не лежащие на одной прямой.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Пусть отображение задано формулой $z\mapsto Az+B\bar z$,
|
||
в которой $A$, $B$ --- заданные комплексные числа, причем $|A|>|B|$.
|
||
Докажите, что образ окружности с центром в нуле при таком преобразовании --- эллипс.
|
||
Выразите длины главных полуосей этого эллипса, а также отношение площади внутри
|
||
эллипса к площади внутри окружности в терминах $A$ и $B$.
|
||
%Во что оно переводит окружность с центром в нуле?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}$\circ$
|
||
Найдите конформное отображение полукруга $|z|<1$, ${\rm Im}\, z>0$
|
||
на верхнюю полуплоскость.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}$\circ$
|
||
Найдите конформное отображение полуполосы ${\rm Re}\, z>0$,
|
||
$0< {\rm Im}\, z <1$ на верхнюю полуплоскость.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите конформное отображение верхней полуплоскости с выброшенным отрезком
|
||
от $0$ до $i$ на верхнюю полуплоскость.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Найдите конформное отображение внешности эллипса с полуосями $a$, $b$ ($a>b$)
|
||
на внешность единичного круга.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите конформное отображение области
|
||
$$
|
||
\{z:\,\mathrm{Im}(z)>0\}\setminus \{z:\, |z|=1,\ 0\leq {\rm arg}\, z \leq \alpha\},
|
||
$$
|
||
%полуплоскостью ${\rm Im}\, z>0$ с разрезом по дуге окружности
|
||
%$|z|=1$, $0\leq {\rm arg}\, z \leq \alpha$,
|
||
где $0<\alpha <\pi$,
|
||
на верхнюю полуплоскость.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите конформное отображение области, являющейся полуполосой
|
||
${\rm Re}\, z>0$, $0<{\rm Im}\, z < \pi$ с разрезом по отрезку
|
||
$[\frac{1}{2}\pi i, 1+\frac{1}{2}\pi i]$, на верхнюю полуплоскость.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Найдите конформное отображение $z(w)$ внешности единичного круга
|
||
$\mathbb{D}$ на расширенной комплексной плоскости
|
||
$\hat \C$ (т.е. некомпактной области $\hat \C \setminus \overline{\mathbb{D}}$)
|
||
на расширенную комплексную плоскость с разрезом по дуге
|
||
$\gamma$
|
||
единичной окружности с углом раствора
|
||
$2\alpha$,
|
||
$$\gamma = \bigl \{z\in \C\mid \, |z|=1,
|
||
-\alpha < \mbox{arg}\, z < \alpha \bigr \}
|
||
\quad (0 < \alpha <\pi ),
|
||
$$
|
||
(т.е. на область $\hat \C \setminus \gamma$),
|
||
такое, что $z(\infty )=\infty$ и $z'(\infty )\in \R_{>0}$.
|
||
Последнее условие означает, что $z(w)=\lambda w+o(w)$ при $w\to\infty$
|
||
для некоторого положительного действительного числа $\lambda$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
%\begin{p}
|
||
%Для каждого из перечисленных ниже открытых множеств постройте его конформное отображение на верхнюю полуплоскость.
|
||
%
|
||
%(а) $\{z:\, 1<\Re(z)+\Im(z)<2\}$,
|
||
%
|
||
%(б) $\{z:\, \Re(z)^2<\Im(z/2)^2-1\}$,
|
||
%
|
||
%(в) $\{z:\, \left|z-\sqrt{3}\right|>2,\ \left|z-\frac{\sqrt{3}}{3}\right|<1\}$,
|
||
%
|
||
%(г) $\mathbb{D}\setminus[0;1]$, где $\mathbb{D}$ --- единичный круг $\{z:\, |z|<1\}$, а $[0;1]$ --- отрезок
|
||
% вещественной оси, соединяющий точки 0 и 1,
|
||
%
|
||
%(д) $\mathbb{D}\setminus [1/2;1]$.
|
||
%\end{p}
|
||
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Пусть $\Gamma$ --- гладкая кривая $\Gamma : [0, +\infty )\to \mathbb{H}$ в верхней полуплоскости
|
||
$\mathbb{H}$, начинающаяся в точке $\Gamma (0)\in \R$ вещественной оси, и пусть $\Gamma_t$ --
|
||
часть кривой $\Gamma_t:=\Gamma ([0,t])$. Через $g(z,t)$ обозначим функцию, осуществляющую
|
||
конформное отображение области $\mathbb{H} \setminus \Gamma_t$ на $\mathbb{H}$, нормированную условием
|
||
$g(z, t)=z+u(t)z^{-1}+O(z^{-2})$, $z\to \infty$, $t>0$. Докажите, что существует
|
||
непрерывная вещественнозначная функция $\xi (t)$, такая, что функция $g(z, t)$ удовлетворяет
|
||
дифференциальному уравнению
|
||
$$
|
||
\frac{\partial g(z, t)}{\partial t} = \frac{1}{g(z, t) -\xi (t)} \,
|
||
\frac{\partial u}{\partial t}, \qquad g(z, 0)=z.
|
||
$$
|
||
Это уравнение называется (хордовым) уравнением Левнера и играет важную роль в теории
|
||
конформных отображений.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{(ДЗ)}
|
||
Укажите хотя бы один конформный изоморфизм между верхней полуплоскостью и внешностью параболы.
|
||
Обоснуйте ответ.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{(ДЗ)}
|
||
Укажите хотя бы один конформный изоморфизм между $\mathbb{D}$ и $\mathbb{D}\sm [1/2;1]$,
|
||
где $\mathbb{D}$ --- это открытый единичный диск, а $[1/2;1]$ --- отрезок вещественной оси
|
||
между точками $1/2$ и $1$.
|
||
Обоснуйте ответ.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\section{Контурные интегралы}
|
||
Направление обхода контуров в контурных интегралах предполагается положительным
|
||
(против часовой стрелки).
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интеграл $\displaystyle{\int_{\gamma}(z-a)^n dz}$
|
||
по контуру $\gamma (t)=a+re^{it}$, \\$0\leq t<2\pi$, $r>0$, $n\in \mathbb{Z}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интеграл $\displaystyle{\int_{\gamma}
|
||
z^n dz}$, где $n\in \mathbb{Z}$, а $\gamma$ --- некоторый путь из $a$ в $b$.
|
||
(Убедитесь, что при $n\neq -1$ интеграл
|
||
не зависит от выбора пути, а при $n=-1$ зависит, и опишите как.)
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интеграл $\displaystyle{\oint_{|z|=1}
|
||
\frac{dz}{z^2 +\frac{1}{4}}}$
|
||
по единичной окружности.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интеграл
|
||
$\displaystyle{\oint_{\gamma}\frac{2z^2+5z+8}{z(z+1)^2}}\, dz$, где контур
|
||
$\gamma$ --- окружность $|z|=3$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите все возможные значения интеграла $\displaystyle{
|
||
\int_{C} \frac{dz}{z(z^2-1)}}$ при различных выборах контура $C$
|
||
(здесь $C$ --- замкнутый контур без самопересечений, не проходящий ни через
|
||
одну из точек $0,1,-1$).
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{(ДЗ)}
|
||
Покажите, что если путь $\gamma$, соединяющий точки 0 и 1, не проходит через
|
||
точки $\pm i$, то
|
||
$$
|
||
\int_{\gamma}\frac{dz}{1+z^2} =\frac{\pi}{4}+k\pi,
|
||
$$
|
||
где $k$ --- целое число.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интеграл $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\cos (z^{-1})dz}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Приведите пример рациональной функции $f$ и замкнутого контура $\gamma$
|
||
таких, что $\displaystyle{\oint_{\gamma}f(z)dz=1}$ и
|
||
$\displaystyle{\oint_{\gamma}zf(z)dz =-1}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интеграл $\displaystyle{\int_{\gamma}\bar z dz}$,
|
||
где $\gamma$ -- окружность радиуса $R$ с центром в точке $a\in \C$,
|
||
проходимая против часовой стрелки.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{(ДЗ)}
|
||
Вычислите интеграл $\displaystyle{\int_{\gamma}
|
||
\frac{\bar z}{z}\, dz}$,
|
||
где $\gamma$ --- окружность радиуса $R$ с центром в точке $a$
|
||
($|a|\neq R$).
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $P(z)$ --- многочлен. Докажите, что
|
||
$$\displaystyle{
|
||
\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-a|=R}P(z)d\bar z =-R^2 P'(a)}.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $\gamma$ --- гладкий замкнутый контур, а функция $f$ голоморфна в
|
||
окрестности кривой $\gamma$. Докажите, что
|
||
$\displaystyle{\oint_{\gamma}\overline{f(z)}f'(z)dz}$ --- чисто мнимое
|
||
число.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интегралы
|
||
$$
|
||
\hbox{(а)}\ \int \!\!\! \int_{\C}
|
||
e^{-\alpha |z|^2}\, dx \, dy,\qquad
|
||
\hbox{(б)}\ \int \!\!\! \int_{\C}
|
||
e^{-\alpha |z|^2 +az+\bar a \bar z}\, dx \, dy.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Вычислите интеграл
|
||
$$
|
||
\int_{0}^{2\pi} e^{\cos\varphi}\cos\left(\sin\varphi - 3\varphi\right)\, d\varphi.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\section{Формула Коши, вычеты}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
С помощью интегральной формулы Коши вычислите интегралы
|
||
|
||
(а) $\displaystyle{\int_{|z|=2}\frac{e^z dz}{z^2-1}},\quad$
|
||
(б) \textbf{(ДЗ)} $\displaystyle{\int_{|z-a|=a}\frac{zdz}{z^4-1}},\quad a>1$,
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
(в) $\displaystyle{\int_{|z-1|=1}\frac{ze^zdz}{(z-1)^3}}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $f:\overline{\mathbb{H}}\cup\{\infty\}\to\C$ --- непрерывная функция, голоморфная в $\mathbb{H}$
|
||
% в верхней полуплоскости, непрерывно продолжаемая
|
||
%на вещественную ось, причем $\lim\limits_{|z|\to \infty} f(z)=0$.
|
||
и такая, что $f(\infty)=0$.
|
||
Докажите \emph{интегральную формулу Шварца}
|
||
$$
|
||
f(z)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{{\rm Im} f(x)}{x-z}\, dx,\quad \forall z\in\mathbb{H}.
|
||
$$
|
||
Напомним, что $\mathbb{H}$ обозначает открытую верхнюю полуплоскость.
|
||
Интеграл понимается в смысле \emph{главного значения}, то есть как предел $\int_{-R}^{R}$ при $R\to +\infty$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Пусть $f(z)$ --- голоморфная функция в единичном круге, непрерывно продолжаемая
|
||
на его границу. Докажите \emph{интегральную формулу Пуанкаре}
|
||
$$
|
||
f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \!{\rm Re} f(e^{i\theta})
|
||
\frac{e^{i\theta}+z}{e^{i\theta}-z}\, d\theta +i{\rm Im} f(0).
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите вычеты дифференциальных форм в их особых точках:\\
|
||
|
||
а) $\displaystyle{\frac{z dz}{z^2+1}},\quad$
|
||
б) $\displaystyle{\frac{e^z dz}{(z-1)^2}},\quad$
|
||
в) $\displaystyle{\frac{z^{}dz}{\sin ^2 z}},\quad$
|
||
г) $\displaystyle{\frac{z^{2n}dz}{(z-1)^n}},\quad$
|
||
д) $\displaystyle{\frac{e^{1/z}dz}{1-z}}$,
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
е) $\sin z \, \sin (1/z) \, dz,\quad$
|
||
ж) \textbf{(ДЗ)} $\displaystyle{\frac{\sin 3z - 3\sin z}{\sin z \, (\sin z -z)}\, dz}$ в точке
|
||
$z=0,\quad$
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
з) $\displaystyle{z^2 \sin \frac{1}{z+1} \, dz},\quad$
|
||
и) $\displaystyle{\frac{dz}{z(e^{2z}-1)}}$ в точке $z=0,\quad$
|
||
к) $\displaystyle{e^{z/(1-z)}dz}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{(ДЗ)}
|
||
Докажите, что для четной функции $f(z)$ имеет место равенство
|
||
$$\mbox{res}_{z=a}f(z)dz =-\mbox{res}_{z=-a}f(z)dz,$$
|
||
а для нечетной
|
||
$$\mbox{res}_{z=a}f(z)dz =\mbox{res}_{z=-a}f(z)dz.$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интегралы:
|
||
|
||
а) $\displaystyle{\oint_{|z|=4}\frac{z^4 dz}{e^z +1}},\quad$
|
||
б) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\frac{e^z dz}{(2z+1)^2 (z+2)}},\quad$
|
||
в) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}(z+1)e^{1/z}dz},$
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
г) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\frac{z^3 dz}{2z^4+1}},\quad$
|
||
д) $\displaystyle{\oint_{|z|=3}\frac{z^3-1}{z-1}\left (e^{\frac{1}{z}}+
|
||
e^{\frac{1}{z-1}}+e^{\frac{1}{z-2}}\right )dz}$,
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
е) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\frac{dz}{e^{2/z}-e^{1/z}}},\quad$
|
||
ж) \textbf{(ДЗ)} $\displaystyle{\oint_{|z|=3}\frac{dz}{(z-1)^2(1-\cos z)}}$,
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
з) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\frac{z-(\log 2)^{-1}}{e^{1/z}-2}\, dz}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть функция $f(z)$ регулярна в замыкании конечной области $D$,
|
||
а точки $a_1, \ldots , a_n$ лежат в $D$ и попарно различны. Обозначим
|
||
$P(z)=(z-a_1)\ldots (z-a_n)$ и
|
||
$$
|
||
\Phi (z)=-\frac{P(z)}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{f(\xi )}{P(\xi )}
|
||
\, \frac{d\xi}{\xi -z}, \quad z\notin D.
|
||
$$
|
||
Докажите, что функция $\Phi (z)$ аналитически продолжается на всю
|
||
плоскость и представляет собой многочлен степени $n-1$, причем
|
||
$\Phi (a_k)=f(a_k)$, $k=1, \ldots , n$. (Многочлен $\Phi (z)$
|
||
называется \emph{интерполяционным многочленом Лагранжа}.)
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $p_1, \ldots , p_N$ --- $N$ различных комплексных чисел.
|
||
Докажите тождество
|
||
$$
|
||
\sum_{i=1}^N \prod_{j\neq i}^N \frac{p_i+p_j}{p_i-p_j}=
|
||
\frac{1}{2}\Bigl (1-(-1)^N\Bigr ).
|
||
$$
|
||
{\it Указание: воспользуйтесь тем, что
|
||
сумма вычетов рациональной функции, включая вычет
|
||
в $\infty$, равна 0.}
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Пусть $w_1, \ldots , w_N$ --- $N$ различных комплексных чисел.
|
||
Найдите сумму
|
||
$$
|
||
S=\sum_{i=1}^N \prod_{j\neq i}^N \frac{1-w_iw_j}{w_i-w_j}.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\section{Изолированные особенности и ряды Лорана}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Для каждой из следующих функций найдите все их изолированные особенности и укажите тип этих
|
||
особенностей (устранимая, полюс, существенная).
|
||
В случае полюсов, укажите их порядок.
|
||
|
||
$$
|
||
\hbox{(a)}\ f(z)=\frac{1}{z(z^2-4)^2},\quad \hbox{(б)}\ f(z)=\frac{z}{\sin(z^2)},\quad \hbox{(в)}\ f(z)=e^{\tg z}.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Существует ли функция $f$, голоморфная в единичном круге $\mathbb{D}=\{z: |z|<1\}$ и удовлетворяющая
|
||
неравенствам $|z|^{5/3}\le |f(z)|\le |z|^{4/3}$ для всех $z\in\mathbb{D}$?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Разложите функцию $\displaystyle f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$ в ряд Лорана:
|
||
|
||
a) в круге $\{z:|z|<1\}$;
|
||
|
||
б) в кольце $\{z:1<|z|<2\}$;
|
||
|
||
в) в кольце $\{z:|z|>2\}$.
|
||
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $a$ и $b$ --- два различных ненулевых комплексных числа.
|
||
|
||
(а) Докажите, что функция $f(z)=\sqrt{(z-a)(z-b)}$
|
||
имеет однозначную ветвь в бесконечном кольце $\{z: |z|>\max(|a|,|b|)\}$;
|
||
найдите коэффициенты при $z^2$ и $z^{-2}$ в ее ряде Лорана в этом кольце.
|
||
|
||
(б) Те же вопросы про функцию $f(z)=\log\frac{z-a}{z-b}$
|
||
(через $\log$ обозначается натуральный логарифм).
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $f$ голоморфна в проколотом круге $\mathbb{D}^*=\{z:0<|z|<1\}$
|
||
и удовлетворяет условию $|f(z)|\le |z|^{-\sqrt{7}}$ для всех $z\in\mathbb{D}^*$.
|
||
Что можно сказать об изолированной особенности функции $f$ в нуле?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{(ДЗ)}
|
||
Пусть $f$ голоморфна в проколотом круге $\mathbb{D}^*=\{z:0<|z|<1\}$
|
||
и удовлетворяет условию $|f(z)|\le 1-\log |z|$ для всех $z\in\mathbb{D}^*$.
|
||
Что можно сказать об изолированной особенности функции $f$ в нуле?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $f$ голоморфна в проколотом круге $\mathbb{D}^*=\{z:0<|z|<1\}$
|
||
и при этом $\mathrm{Re}\,f(z)>0$ для всех $z\in\mathbb{D}^*$.
|
||
|
||
(а) Может ли $f$ иметь в точке 0 существенную особенность?
|
||
|
||
(б) Может ли $f$ иметь в точке 0 полюс?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Существует ли голоморфная функция $f:\C\setminus\{0\}\to\C$, такая, что $f(z)+e^{f(z)}=1/z$?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $P$ --- многочлен степени $n$ без кратных корней; обозначим его корни через $a_1$, $\dots$, $a_n$.
|
||
Докажите, что
|
||
$$
|
||
\frac{a_1^k}{P'(a_1)} +\dots +\frac{a_n^k}{P'(a_n)}=0
|
||
$$
|
||
для всякого целого $k$, такого, что $0\le k\le n-2$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\section{Аналитическое продолжение}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Рассмотрим аналитическое продолжение ростка аналитической функции
|
||
$f(z)=\sqrt{z^2+9}$, заданного в окрестности точки
|
||
$z=4$ условием $f(4)=5$, вдоль
|
||
а) полуокружности $|z|=4$,
|
||
${\rm Im} \, z\geq 0$, б) полуокружности $|z|=4$,
|
||
${\rm Im} \, z< 0$, с) отрезка $[-4, 4]$.
|
||
Чему равно $f(-4)$ во всех этих случаях?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{(ДЗ)}
|
||
Фиксируем какую-либо ветвь функции
|
||
$f(z)=\sqrt{z^2-9}$ в окрестности точки $z=5$ и
|
||
рассмотрим два
|
||
способа ее аналитического продолжения
|
||
из точки $z=5$ в точку $x\in [-3,3]$: вдоль
|
||
дуги полуокружности в верхней полуплоскости и
|
||
вдоль
|
||
дуги полуокружности в нижней полуплоскости.
|
||
Результаты обозначим $f(x+i0)$ и $f(x-i0)$ соответственно.
|
||
Как связаны между собой $f(x+i0)$ и $f(x-i0)$?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $D$ --- вся комплексная плоскость с разрезами по отрезкам
|
||
$[-1, i]$ и $[-i, 1]$, а $h(z)$ --- регулярная ветвь функции $\sqrt{1-z^4}$,
|
||
положительная на интервале $(-1, 1)$. Найдите значения $h(\sqrt{5/3})$,
|
||
$h(i\sqrt{5/3})$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $h(z)$ --- регулярная ветвь функции $\sqrt[3]{1-z^2}$ в области $D$,
|
||
удовлетворяющая условию $h(0)=1$. Найдите значение $h(-3)$ в случаях, когда
|
||
область $D$ а) вся комплексная плоскость с разрезами по лучам $[1, +\infty ]$ и
|
||
$[-1, -1+i\infty ]$, б) вся комплексная плоскость с разрезами по лучам
|
||
$[1, 1-i\infty ]$ и $[-1, -1-i\infty ]$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $h(z)$ --- регулярная ветвь многозначной функции
|
||
$\displaystyle{\log \frac{1-z}{1+z}}$ в области $\C \setminus [-1, 1]$, такая,
|
||
что $h(0+i0)=0$. Найдите значения $h(0-i0)$, $h(i)$, $h(\infty )$. Разложите
|
||
функцию $h(z)$ в ряд Лорана по степеням $z$ в окрестности $\infty$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{(ДЗ)}
|
||
Пусть $D$ --- вся плоскость с разрезами по лучам $(-\infty , -1]$ и
|
||
$[1, +\infty)$, а $h(z)$ --- регулярная ветвь многозначной функции $\log (1-z^2)$
|
||
в области $D$, удовлетворяющая условию $h(0)=0$. Найдите $h(i)$, $h(-i)$,
|
||
$h(2+i0)$, $h(2-i0)$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Исследуйте поведение каждой из однозначных ветвей заданных аналитических
|
||
функций в окрестности указанных точек и определите тип особенностей
|
||
(если они есть): \\
|
||
а) $\displaystyle{\frac{z}{1+\sqrt{z-3}}\, , \,\, z=4}$ , б) $\displaystyle{
|
||
z+\sqrt{z^2 -1}\, , \, z=\infty} $,
|
||
в) $\displaystyle{\frac{2z+3}{1+z -2\sqrt{z}}\, , \, z=1} $, \\
|
||
г) $\displaystyle{\cos \frac{1}{1+\sqrt{z}}}\,, z=1$,
|
||
д) \textbf{(ДЗ)} $\displaystyle{\sin \frac{1}{1+\sqrt{z/(z-1)}}}\,, z=\infty$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите вычеты $\mbox{res}_{z=1}(f(z)dz)$ для каждой из однозначных ветвей функции
|
||
а) $f(z)=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2-z}+1}}$, б) $f(z)=
|
||
\exp \left ( \displaystyle{\frac{1}{1+\sqrt{z}}}\right )$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\section{Вычисление интегралов}
|
||
В этом разделе не следует разбирать все задачи.
|
||
Можно разобрать только только некоторые (примерно одну треть, на выбор аудитории или семинариста).
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интегралы Френеля
|
||
$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\! \cos x^2 dx, \;\; \int_{0}^{\infty}\! \sin x^2 dx}.$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интеграл
|
||
$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\cos ax -\cos bx}{x^2}\, dx}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интегралы
|
||
|
||
\smallskip
|
||
|
||
а) $\bullet$ $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\, dx}$,\quad
|
||
б) \textbf{(ДЗ)} $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,
|
||
\frac{\sin (x/3)}{x/3}\, dx}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интеграл
|
||
$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\cos x\, \frac{\sin x}{x}\, dx}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите определенные интегралы
|
||
(параметры $a$, $b$, $k$ предполагаются вещественными):
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
а) $\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\!\!\frac{d\varphi}{a+b\cos \varphi}}$ ($a>b>0$),\quad
|
||
%б) $\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\!\!
|
||
%e^{\cos \varphi}\cos (n\varphi -\sin \varphi )d\varphi}$,
|
||
б) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{x^2+1}{x^4+1}\, dx}$,\quad
|
||
в) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^n+1}}$,\\
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
г) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\cos ax}{x^2+b^2}\, dx}$,\quad
|
||
д) $\bullet$ $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin ax}{x^2+b^2}\, dx}$,\quad
|
||
е) \textbf{(ДЗ)} $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin ax}{x(x^2+b^2)}\, dx}$,\\
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
ж) $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ax}dx}{1+e^x}}\;\;$ ($0<a<1$),\quad
|
||
з) $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos kx\, dx}{\cosh x}}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите определенные интегралы
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
(а) $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos kx\, dx}{\cosh x +\cosh a}}\;\;
|
||
(k, a>0)$,\quad
|
||
(б) \textbf{*} $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-\pi x}\, \frac{\sin ax}{\sinh \pi x}\, dx}$,\\
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
(в) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}\, dx}$,\quad
|
||
г) $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ax}-e^{bx}}{1-e^x}\, dx}\;\;
|
||
(0<a,b<1)$,\\
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
(д) \textbf{*} $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{x^2 dx}{\cosh x}\,} $,\quad
|
||
(е) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{xdx}{\sinh x}}$,\quad
|
||
(ж) \textbf{*} $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+\pi^2)\cosh x}\,} $.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть регулярная ветвь $g(z)$ функции $\sqrt{z^2-4}$ определена в области $D$,
|
||
представляющей собой комплексную плоскость с разрезом по полуокружности
|
||
$|z|=2$, ${\rm Im} z\geq 0$, причем главная часть ряда Лорана функции $g(z)$
|
||
в окрестности $\infty$ равна $z$. Вычислите интеграл
|
||
$$
|
||
I=\oint _{|z|=1}\frac{dz}{g(z)-3z}.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интеграл
|
||
$$
|
||
\oint_{|z|=\frac{1}{2}}\frac{dz}{(2+g(z))\sin z},
|
||
$$
|
||
где $g(z)$ --- однозначная ветвь функции $\sqrt{z-1}$ в круге
|
||
$|z|\le \frac{1}{2}$, такая, что $g(0)=i$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{(ДЗ)}
|
||
Пусть $f(z)$ --- регулярная ветвь функции $\sqrt[3]{2z-8}$ в комплексной плоскости
|
||
с разрезом по лучу $[4, 4-i\infty ]$ такая, что $f(8)=-1-i\sqrt{3}$.
|
||
Вычислите интеграл
|
||
$$
|
||
I=\oint _{|z-2|=3/2}\frac{dz}{f(z)-z+2}.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интегралы с помощью вычетов:
|
||
|
||
а) $\displaystyle{\int\limits_{-1}^{1}
|
||
\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}};\qquad$
|
||
б) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}
|
||
\sqrt{\frac{1-x}{x}}\, dx} \,\,$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интеграл с помощью вычетов:
|
||
|
||
$$\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}
|
||
\frac{x^{\alpha -1}}{x+1}\,dx} \qquad (0<\alpha <1).
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интегралы с помощью вычетов:
|
||
|
||
а) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}\left (\frac{x}{1-x}\right )^{\alpha}\hspace{-4pt}
|
||
\frac{dx}{x+1}\quad}$ ($-1<\alpha <1$);
|
||
|
||
б) $\displaystyle{\int\limits_{1}^{2}\sqrt[5]{\frac{(2-x)^3}{(x-1)^3}}\, dx}$;\qquad
|
||
в) $\displaystyle{\int\limits_{-2}^{2}\frac{dx}{\sqrt[4]{(2+x)^2 (4-x^2)}}}\,$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интегралы с помощью вычетов:
|
||
|
||
а) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^3+1}}$;\qquad
|
||
б) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\log x \, dx}{x^2+a^2} \quad (a>0)}$;
|
||
|
||
в) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\log x \, dx}{(x+1)(x+2)^2}\,}$;\qquad
|
||
г) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\log x \, dx}{x^2-1}}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Вычислите интегралы с помощью вычетов:
|
||
|
||
а) \textbf{*} $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}\left (\frac{\log x}{x-1}\right )^2 dx}$;\qquad
|
||
б) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{x}\, \log x dx}{x^2+1}}$;
|
||
|
||
в) \textbf{*} $\displaystyle{\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\log |x^2-1|}{x^2+1}\, dx}$;\qquad
|
||
г) \textbf{*} $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty}
|
||
\frac{\log (1+x^2)}{x^2}\, \frac{dx}{1+x^2}}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
|
||
|
||
\section{Принцип аргумента}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Сколько корней многочлена $z^7 +3z+1$ находится в круге
|
||
$|z|<1$?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Сколько корней многочлена $z^5 +z^2 +3z+1$ находится в круге
|
||
$|z|<1$?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что уравнение $e^z = z+2$ имеет в
|
||
левой полуплоскости (${\rm Re} \, z <0$) единственный (и при том
|
||
действительный) корень.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что при $\lambda >1$ уравнение $ze^{\lambda -z}=1$ имеет
|
||
в единичном круге ровно один корень (и при том действительный).
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{(ДЗ)}
|
||
Найдите количество корней многочлена
|
||
$$
|
||
z^6 +z^5 +6z^4+5z^3 +8z^2 +4z +1
|
||
$$
|
||
в правой полуплоскости $\{\mathrm{Re}(z)>0\}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите количество корней уравнения
|
||
$$
|
||
z^4 +2z^3 +3z^2 +z +2=0
|
||
$$
|
||
в правой полуплоскости и в правом верхнем квадранте.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\section{Принцип максимума} %конформные инварианты}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $f$ --- целая непостоянная функция. Положим $$M=
|
||
\mbox{max}_{|z|=r} |f(z)|.$$ Докажите, что
|
||
функция $r\mapsto M(r)$ является строго возрастающей.
|
||
Чему может быть равен ее предел при $r\to +\infty$?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть $\Delta$ --- равносторонний треугольник со стороной длины $a$,
|
||
рассматриваемый как множество своих внутренних и граничных точек.
|
||
Найдите максимум произведения расстояний от точки из $\Delta$ до трех вершин треугольника.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{(ДЗ)}
|
||
Рассмотрим функцию $f$, непрерывную в единичном диске $\{|z|\le 1\}$
|
||
и голоморфную в его внутренности $\{|z|<1\}$.
|
||
Если $|f(z)|=1$ для всех $z$ на единичной окружности $\{|z|=1\}$, то либо $f=const$ на $\{|z|\le 1\}$,
|
||
либо уравнение $f(z)=0$ имеет хотя бы одно решение при $|z|<1$.
|
||
Докажите.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что всякий конформный автоморфизм комплексной плоскости
|
||
имеет вид $z\mapsto az+b$, $a\neq 0$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что не существует конформного автоморфизма между множествами
|
||
$\C \setminus \{0,1,2\}$ и $\C \setminus \{0,1,1000\}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} $\bullet$
|
||
Докажите, что всякий конформный автоморфизм единичного круга ---
|
||
дробно-линейный автоморфизм.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{(ДЗ)}
|
||
Пусть $D$ --- единичный круг (без границы). Существует ли голоморфное
|
||
отображение $f:D\to D$, для которого $f(0)=\frac{1}{2}$,
|
||
$f(\frac{1}{2})=\frac{7}{8}$?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}\textbf{*}
|
||
Предположим, что функция $f$ определена и непрерывна на замкнутой полосе $S$ между двумя
|
||
параллельными прямыми, что она ограниченна на этой полосе и голоморфна в ее внутренности.
|
||
Докажите, что $\sup_{z\in S} |f(z)|=\sup_{z\in\partial S} |f(z)|$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\section{Гиперболическая метрика}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Даны две точки $\alpha$, $\beta$ внутри единичного круга $D=\{|z|<1\}$.
|
||
Найдите максимум $|f'(\alpha)|$ по всем голоморфным функциям $f:D\to D$,
|
||
таким, что $f(\alpha)=\beta$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите гиперболическую метрику в полосе $|\Im(z)|<\frac\pi 2$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
В каждом непустом кольце $A=\{r<|z|<R\}$ имеется единственная гиперболическая метрика,
|
||
за исключением случая $r=0$, $R=\infty$.
|
||
Обоснуйте это утверждение и запишите гиперболическую метрику в координате $z$.
|
||
%Найдите гиперболическую метрику в кольце $\{r<|z|<R\}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
Гладкая кривая $\gamma\subset U$ в открытом множестве $U\subset\mathbb{C}$
|
||
называется \emph{геодезической} относительно конформной метрики $g(z)|dz|$ в $U$,
|
||
если у каждой точки из $\gamma$ найдется такая окрестность, что любой отрезок
|
||
кривой $\gamma$ с концами $a$, $b$, лежащий в данной окрестности,
|
||
минимизирует длину (то есть отрезок кривой $\gamma$ является самой короткой
|
||
кривой, соединяющей точки $a$ и $b$; длина вычисляется как интеграл от $g(z)|dz|$).
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Проверьте, что для метрики Пуанкаре $\frac{|dz|}{\mathrm{Im}(z)}$ в верхней полуплоскости
|
||
геодезические представляют собой интервалы прямых или дуги окружностей, перпендикулярных
|
||
\emph{абсолюту} $\{\mathrm{Im}(z)=0\}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
Напомним, что двойное отношение $(z_1,z_2,z_3,z_4)$ четырех точек $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4\in\C\cup\{\infty\}$
|
||
введено в разделе \ref{s:fraclin}.
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Кратчайшее расстояние между двумя точками $a$, $b$ в верхней полуплоскости $\mathrm{Im}(z)>0$
|
||
с метрикой Пуанкаре $\frac{|dz|}{\mathrm{Im}(z)}$ выражается формулой
|
||
$$
|
||
\log|(a,b,\alpha,\beta)|,
|
||
$$
|
||
где $\alpha$, $\beta$ --- точки, в которых геодезическая через $a$, $b$ подходит к абсолюту,
|
||
причем порядок точек $\alpha$, $a$, $b$, $\beta$ соответствует
|
||
порядку точек на замыкании геодезической (для прямой $\alpha=\infty$ или $\beta=\infty$).
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{(ДЗ)}
|
||
Докажите, что все конформные автоморфизмы верхней полуплоскости переводят
|
||
геодезические (метрики Пуанкаре) в геодезические.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{*}
|
||
%Обоснуйте следующие утверждения.
|
||
Зафиксируем непустое кольцо $A=\{r<|z|<R\}$.
|
||
Имеется единственная замкнутая геодезическая в $A$ (т.е. геодезическая, гомеоморфная окружности).
|
||
Обоснуйте это утверждение и посчитайте длину этой геодезической.
|
||
Выведите отсюда, что кольцо $A$ может быть конформно изоморфно кольцу $\{r'<|z|<R'\}$
|
||
только в том случае, когда $R/r=R'/r'$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\section{Принцип симметрии и принцип соответствия границ}
|
||
|
||
\begin{figure}
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=.9\textwidth]{bd.PNG}
|
||
\caption{иллюстрация к задаче \ref{p:bd}}\label{fig:bd}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
\label{p:bd}
|
||
Пусть функция $f$ непрерывна в замкнутом круге $\{|z|\le 1\}$ и голоморфна в открытом круге $\{|z|<1\}$.
|
||
Может ли образ единичной окружности $\{|z|=1\}$ при отображении $f$ выглядеть так, как на рис. 1а?
|
||
А может ли так, как на рис. 1б?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Постройте (задайте формулой) конформное отображение верхней полуплоскости на внутренность
|
||
правильного треугольника (ка\-ко\-го-нибудь: форма и размер треугольника не важны).
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Существует ли конформное отображение между внутренностью квадрата и внутренностью
|
||
прямоугольника с соотношением сторон 2:1, которое, при соответствии границ,
|
||
переводит вершины в вершины?
|
||
\emph{Указание}: воспользуйтесь принципом симметрии.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Существует ли конформное отображение между внутренностью правильного треугольника
|
||
и внутренностью равнобедренного прямоугольного треугольника, которое, при соответствии границ,
|
||
переводит вершины в вершины?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Существует ли конформный изоморфизм между открытым множеством
|
||
$$
|
||
U:=\left\{z\in\C: |z|<1,\ \left|z-\frac 25\right|>\frac 25\right\}
|
||
$$
|
||
и каким-нибудь кольцом вида $\{r<|z|<R\}$, где $0<r<R$?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p} \textbf{*}
|
||
\emph{Кольцом} называется область $A\subset \C$, гомеоморфная цилиндру $\{|z|=1\}\times \R$.
|
||
Докажите, что всякое кольцо $A$ конформно изоморфно единственному цилиндру вида $S\times (0;\mu)$,
|
||
где $S$ --- окружность длины 1 (на этом цилиндре естественным образом можно мерить расстояния и углы,
|
||
а значит, можно говорить о конформных отображениях в цилиндр).
|
||
Число $\mu$ называется \emph{модулем} кольца $A$.
|
||
Вычислите модуль кольца $\{r<|z|<R\}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
|
||
\section{Тэта-функции}
|
||
|
||
\emph{Задачи из этого раздела не войдут в итоговый контроль.}
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
%\begin{p}
|
||
Пусть задан параметр $\tau \in \C$, ${\rm Im} \, \tau >0$; определим \emph{эллиптическую кривую}
|
||
$E_{\tau}=\C /(\Z +\tau \Z )$ и \emph{тэта-функцию} с характеристиками $a$, $b$
|
||
рядом
|
||
$$
|
||
\theta_{a,b}(u)=\theta_{a,b}(u,\tau )=\sum_{k\in \Z}q^{(k+a)^2}e^{2\pi i (k+a)(u+b)}, \quad
|
||
q=e^{i\pi \tau},
|
||
$$
|
||
а также введем \emph{тэта-функции Якоби}
|
||
$$
|
||
\theta_1(u)=-\theta_{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}}(u), \quad
|
||
\theta_2(u)=\theta_{\frac{1}{2},0}(u), \quad \theta_3(u)=\theta_{0, 0}(u), \quad
|
||
\theta_4(u)=\theta_{0,\frac{1}{2}}(u).
|
||
$$
|
||
%\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что ряд абсолютно сходится на $\C$, и тэта-функции являются целыми функциями,
|
||
причем $\theta_1$ --- нечетная, а $\theta_2$, $\theta_3$, $\theta_4$ --- четные функции.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что $\theta_2(u)=\theta_1(u+\frac{1}{2})$, $\theta_3(u)=
|
||
e^{\pi i(u+\tau /4)}\theta_1(u+\frac{\tau +1}{2})$,
|
||
$\theta_4(u)=-ie^{\pi i(u+\tau /4)}\theta_1(u+\frac{\tau}{2})$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите следующие свойства тэта-функции при сдвигах на векторы решетки
|
||
$1$, $\tau$:
|
||
$$
|
||
\left \{ \begin{array}{l}
|
||
\theta_1(u+1)=-\theta_1(u)\\
|
||
\theta_1(u+\tau)=-q^{-1}e^{-2\pi iu}\theta_1(u).
|
||
\end{array} \right.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите нули функций
|
||
$\theta_1 (u)$, $\theta_2(u)$, $\theta_3(u)$, $\theta_4(u)$ и покажите, что они простые.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что тэта-функции удовлетворяют <<уравнению теплопроводности>>
|
||
$4\pi i \partial_{\tau}\theta = \partial_u^2 \theta$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Покажите, что если для набора $\alpha_i\in \C$ выполняется
|
||
$\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha _i=0}$, то при любых $a_i\in E_{\tau}$
|
||
$$
|
||
f(u)=\sum_{i=1}^n\alpha_i \, \frac{\partial_u \theta_1(u-a_i)}{\theta_1(u-a_i)}
|
||
$$
|
||
является эллиптической (т.е. двоякопериодической) функцией на $\C$ с периодами $1$, $\tau$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Покажите, что
|
||
$
|
||
P(u)=\partial_u^2 \log \theta_1(u)
|
||
$
|
||
является эллиптической функцией на $\C$ с периодами $1$, $\tau$ и найдите ее полюса.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите тождество
|
||
$$
|
||
\theta_1(a+b)\theta_1(a-b)\theta_1(u+c)\theta_1(u-c)+
|
||
\theta_1(b+c)\theta_1(b-c)\theta_1(u+a)\theta_1(u-a)
|
||
$$
|
||
$$
|
||
+\, \theta_1(c+a)\theta_1(c-a)\theta_1(u+b)\theta_1(u-b)=0.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите тождество
|
||
$$
|
||
P(v)-P(u)=(\theta_1'(0))^2 \, \frac{\theta_1(u-v)\theta_1(v+u)}{\theta_1^2(u)\, \theta_1^2(v)}.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите следующие представления тэта-функций в виде бесконечных произведений:
|
||
$$
|
||
\theta_1(u)=2q^{\frac{1}{4}}\sin (\pi u) \prod_{n=1}^{\infty}
|
||
(1-q^{2n}) (1-q^{2n}e^{2\pi i u})(1-q^{2n}e^{-2\pi i u}),
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\theta_2(u)=2q^{\frac{1}{4}}\cos (\pi u) \prod_{n=1}^{\infty}
|
||
(1-q^{2n}) (1+q^{2n}e^{2\pi i u})(1+q^{2n}e^{-2\pi i u}),
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\theta_3(u)= \prod_{n=1}^{\infty}
|
||
(1-q^{2n}) (1+q^{2n-1}e^{2\pi i u})(1+q^{2n-1}e^{-2\pi i u}),
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\theta_4(u)=\prod_{n=1}^{\infty}
|
||
(1-q^{2n}) (1-q^{2n-1}e^{2\pi i u})(1-q^{2n-1}e^{-2\pi i u}).
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите тождество $\theta '_1(0)=\pi \theta_2(0)\theta_3(0)\theta_4(0)$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите формулы модулярного преобразования $\tau \to -1/\tau$:
|
||
$$
|
||
\theta_1(u/\tau , -1/\tau )=-i\sqrt{-i\tau} e^{\pi i u^2/\tau}
|
||
\theta_1(u, \tau ),
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\theta_2(u/\tau , -1/\tau )=\sqrt{-i\tau} e^{\pi i u^2/\tau}
|
||
\theta_4(u, \tau ),
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\theta_3(u/\tau , -1/\tau )=\sqrt{-i\tau} e^{\pi i u^2/\tau}
|
||
\theta_3(u, \tau ),
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\theta_4(u/\tau , -1/\tau )=\sqrt{-i\tau} e^{\pi i u^2/\tau}
|
||
\theta_2(u, \tau ).
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
|
||
\section{Эллиптические функции}
|
||
|
||
\emph{Задачи из этого раздела не войдут в итоговый контроль.}
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
\noindent
|
||
$\wp$-функция Вейерштрасса с периодами $2\omega_1,
|
||
2\omega_2$ (${\rm Im}\, \omega_2/ \omega_1 >0$):
|
||
$$
|
||
\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{s\neq 0} \Bigl (\frac{1}{(z-s)^2}-
|
||
\frac{1}{s^2}\Bigr ),
|
||
\quad s=2\omega_1 n_1 +2 \omega_2 n_2, \quad n_{1,2}\in \Z .
|
||
$$
|
||
Разложение в окрестности $z=0$:
|
||
$$
|
||
\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\frac{g_2}{20}\, z^2 +\frac{g_3}{28}\, z^4+O(z^6),
|
||
$$
|
||
$$
|
||
g_2=60\sum_{s\neq 0} s^{-4}, \quad g_3=140\sum_{s\neq 0} s^{-6}.
|
||
$$
|
||
$\zeta$- и $\sigma$-функции Вейерштрасса: $\zeta '(z)=-\wp (z)$, $\sigma '(z)/\sigma (z)=
|
||
\zeta (z)$,
|
||
$$
|
||
\zeta (z)=\frac{1}{z}-\int_{0}^{z}\Bigl (\wp (x)-\frac{1}{x^2}\Bigr )dx,
|
||
\quad
|
||
\log (\sigma (z)/z)=\int_{0}^{z}\Bigl (\zeta (x)-\frac{1}{x}\Bigr )dx.
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\zeta (z)=\frac{1}{z}+\sum_{s\neq 0} \Bigl (\frac{1}{z-s}+\frac{1}{s}+\frac{z}{s^2}\Bigr ),
|
||
\quad
|
||
\sigma (z)=z\prod_{s\neq 0} \Bigl (1-\frac{z}{s}\Bigr )e^{\frac{z}{s}+\frac{z^2}{2s^2}}.
|
||
$$
|
||
$\zeta (z+2\omega_{\alpha} )=\zeta (z)+2\eta_{\alpha}$,
|
||
$\sigma (z+2\omega_{\alpha})=-e^{2\eta_{\alpha}(z+\omega_{\alpha})}
|
||
\sigma (z)$,
|
||
$\eta_{\alpha}=\zeta (\omega_{\alpha})$.
|
||
|
||
|
||
\noindent
|
||
Выражение $\sigma$-функции через тэта-функцию:
|
||
$$
|
||
\sigma (z)=2\omega_1 e^{\eta_1 z^2/(2\omega_1 )}\frac{\theta_1(z/(2\omega_1 ))}{\theta_1'(0)}.
|
||
$$
|
||
|
||
\noindent
|
||
Функции ${\rm sn}$, ${\rm cn}$ и ${\rm dn}$:
|
||
$$
|
||
{\rm sn}\, u = \frac{\theta_3(0)}{\theta_2(0)}\,
|
||
\frac{\theta_1 \Bigl (\frac{u}{\pi \theta_3^2(0)}
|
||
\Bigr )}{\theta_4 \Bigl (\frac{u}{\pi \theta_3^2(0)}\Bigr )},
|
||
\;
|
||
{\rm cn}\, u = \frac{\theta_4(0)}{\theta_2(0)}\,
|
||
\frac{\theta_2 \Bigl (\frac{u}{\pi \theta_3^2(0)}
|
||
\Bigr )}{\theta_4 \Bigl (\frac{u}{\pi \theta_3^2(0)}\Bigr )},
|
||
\;
|
||
{\rm dn}\, u = \frac{\theta_4(0)}{\theta_3(0)}\,
|
||
\frac{\theta_3 \Bigl (\frac{u}{\pi \theta_3^2(0)}
|
||
\Bigr )}{\theta_4 \Bigl (\frac{u}{\pi \theta_3^2(0)}\Bigr )}.
|
||
$$
|
||
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что функция $\wp (z)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению
|
||
$$
|
||
(\wp '(z))^2 =4\wp ^3(z)-g_2\wp (z)-g_3.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите тождество
|
||
$
|
||
\wp '''(z)=12\wp (z)\wp '(z).
|
||
$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите соотношение $2\eta_1 \omega_2 -2\eta_2 \omega_1 =\pi i$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
%\nz
|
||
%Докажите тождество
|
||
%$$
|
||
%\wp (z+y)-\wp (z-y)=-\frac{\wp '(z)\wp '(y)}{(\wp (z)-\wp (y))^2}.
|
||
%$$
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что при $x+y+z=0$ справедливо тождество
|
||
$$
|
||
\left | \begin{array}{lll}
|
||
1 & \wp (x) & \wp '(x)
|
||
\\
|
||
1 & \wp (y) & \wp '(y)
|
||
\\
|
||
1 & \wp (z) & \wp '(z)
|
||
\end{array}
|
||
\right |=0.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Выразите
|
||
$\displaystyle{
|
||
\left | \begin{array}{lll}
|
||
1 & \wp (x) & \wp '(x)
|
||
\\
|
||
1 & \wp (y) & \wp '(y)
|
||
\\
|
||
1 & \wp (z) & \wp '(z)
|
||
\end{array}
|
||
\right |}
|
||
$
|
||
при произвольных $x,y,z \in \C$ через $\sigma$-функции.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что при $x+y+z=0$ справедливо тождество
|
||
$$
|
||
\Bigl (\zeta (x)+\zeta (y) +\zeta (z)\Bigr )^2=
|
||
\wp (x)+\wp (y)+\wp (z).
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите тождество
|
||
$$
|
||
\zeta (x-a_1)-\zeta (x-a_2)+\zeta (a_1-a_2)=-\frac{1}{2}\,
|
||
\frac{\wp '(x-a_1)+\wp '(x-a_2)}{\wp (x-a_1)-\wp (x-a_2)}.
|
||
$$
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите тождества
|
||
$$
|
||
{\rm sn}^2\, u +{\rm cn}^2\, u =1, \quad
|
||
k^2{\rm sn}^2\, u +{\rm dn}^2\, u =1,
|
||
$$
|
||
где $k^2=\theta_2^4(0)/\theta_3^4(0)$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\section{Теоретические вопросы к промежуточной контрольной
|
||
и итоговому экзамену}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Как выглядит (в базисе $1$, $i$) матрица линейного над $\mathbb{R}$ отображения $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$,
|
||
такого, что $z\mapsto f(\overline{z})$ голоморфно?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
В чем состоит геометрический смысл числа $\arg f'(a)$ для функции $f$,
|
||
определенной и голоморфной в окрестности точки $a\in\C$, при условии, что $f'(a)\ne 0$?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть функция $f$ определена и непрерывна в замыкании области $D$ с кусочно гладкой границей,
|
||
и пусть $f$ голоморфна в области $D$.
|
||
Рассмотрим функцию $g:\mathbb{C}\setminus\partial D\to\mathbb{C}$, заданную уравнением
|
||
$$
|
||
g(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)d\zeta}{\zeta-z}.
|
||
$$
|
||
Что можно сказать про значения функции $g$ внутри и вне области $D$?
|
||
В каких случаях эту функцию можно продолжить по непрерывности на всю плоскость?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Выразите $\mathrm{Res}_0 f(5z)dz$ через $\mathrm{Res}_0 f(z)dz$.
|
||
Здесь $f$ --- функция, определенная и голоморфная в проколотой окрестности точки $z=0$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Как может выглядеть область сходимости ряда Лорана (т.е. максимальное \emph{открытое}
|
||
множество, во всех точках которого ряд Лорана сходится)?
|
||
Укажите все возможные области и строго обоснуйте ответ.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Функция $f$ определена и непрерывна в замкнутом кольце $\overline{A}=\{z:1\le |z|\le 2\}$,
|
||
а также голоморфна в открытом кольце $A=\{z:1<|z|<2\}$.
|
||
Известны значения $f(z)$ при $|z|=1$ и $|z|=2$.
|
||
Как найти коэффициенты разложения функции $f$ в ряд Лорана в кольце $A$
|
||
(выведите соответствующие интегральные формулы)?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Опишите множество всех комплексных чисел, которые можно представить
|
||
как $\mathrm{Res}_0\frac{df}{f}$ для
|
||
|
||
а) некоторой аналитической функции $f$, имеющей в точке $z=0$ изолированную особенность;
|
||
|
||
б) некоторой аналитической функции $f$, имеющей в точке $z=0$ полюс?
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пусть функция $f(z)$ определена и голоморфна в проколотой окрестности точки $z=0$.
|
||
Верно ли следующее утверждение (строго обоснуйте ответ)?
|
||
Точка $z=0$ является существенной особенностью функции $f(z)$ тогда и только тогда,
|
||
когда она является существенной особенностью функции $f(z)(1+e^{f(z)})$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что следующие ростки голоморфных функций не
|
||
допускают аналитического продолжения вдоль отрезка $[-1;1]$ с направлением от $1$ к $-1$:
|
||
|
||
(а) росток функции $1/z$ в точке $1$;
|
||
|
||
(б) росток функции $\sqrt{z}$ в точке $1$, такой, что $\sqrt 1 = 1$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Приведите пример многозначной аналитической функции $f$ со следующими свойствами:
|
||
$f$ определена и голоморфна всюду на $\mathbb{C}\setminus \{0,1\}$,
|
||
причем множество значений функции $f$ в каждой точке $z\in \mathbb{C}\setminus \{0,1\}$
|
||
всюду плотно в $\mathbb{C}$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пользуясь свойствами голоморфных функций, обоснуйте следующее утверждение про
|
||
вещественные гармонические функции.
|
||
Если вещественнозначная функция $u$ непрерывна на компактном множестве $K$
|
||
и гармонична во внутренности множества $K$, то ее минимальное значение
|
||
достигается в некоторой граничной точке множества $K$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Сформулируйте и докажите теорему о среднем для гармонических функций.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Докажите, что существует не более одной, с точностью до умножения на положительную константу,
|
||
конформной метрики на диске $\{|z|<1\}$,
|
||
инвариантной относительно всех конформных автоморфизмов диска.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Найдите гиперболическую метрику на проколотом диске $\{0<|z|<1\}$.
|
||
Покажите, что площадь проколотой окрестности нуля относительно этой метрики конечна.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Последовательность голоморфных функций $f_n:U\to\C$ на области $U\subset \C$
|
||
сходится равномерно на компактах к функции $f:U\to\C$.
|
||
Докажите, что производные $f'_n$ сходятся (равномерно на компактах) к производной $f'$.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Последовательность многочленов степени 2026 сходится равномерно на компактах на всем $\C$.
|
||
Может ли предел этой последовательности быть многочленом степени 2025?
|
||
А может ли он быть многочленом степени 2027?
|
||
А может ли он вообще не быть многочленом?
|
||
Строго обоснуйте ответы.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Существует ли конформный изоморфизм между $\mathbb{H}\setminus \{i,2i\}$ и $\mathbb{H}\setminus\{i,3i\}$,
|
||
где $\mathbb{H}=\{z : \Im(z)>0\}$ --- верхняя полуплоскость?
|
||
Строго обоснуйте ответы.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
\begin{p}
|
||
Пользуясь теоремой Римана об отображении и принципом соответствия границ,
|
||
постройте голоморфное накрытие $p:\{|z|<1\}\to \C\setminus\{-1,0,1\}$.
|
||
Выведите, что на $\C\setminus\{-1,0,1\}$ имеется гиперболическая метрика.
|
||
\end{p}
|
||
|
||
%\begin{p}
|
||
%Выпишите (в виде интеграла от явно заданной функции) конформный изоморфизм
|
||
% между внутренностью единичного диска и внутренностью правильного шестиугольника.
|
||
%\end{p}
|
||
|
||
|
||
|
||
\end{document}
|