99 lines
No EOL
4.1 KiB
TeX
99 lines
No EOL
4.1 KiB
TeX
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
|
||
\usepackage[cp1251]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
|
||
\usepackage{xspace}
|
||
|
||
\pagestyle{empty}
|
||
|
||
\newcounter{zadacha}
|
||
\setcounter{zadacha}0
|
||
|
||
\newcommand*{\nz}{%
|
||
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
|
||
\textbf{\thezadacha.} }
|
||
|
||
\let\C\relax
|
||
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
|
||
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}
|
||
\newcommand*{\HH}{\ensuremath{\mathbb H}\xspace}
|
||
\newcommand*{\UU}{\ensuremath{\mathbb U}\xspace}
|
||
|
||
\let\Re\relax
|
||
\let\Im\relax
|
||
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
|
||
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
|
||
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\begin{center}\large\sc
|
||
Теория функций комплексного переменного -- 2026\\
|
||
Листок 5
|
||
\end{center}
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите конформное отображение полукруга $|z|<1$, ${\rm Im}\, z>0$
|
||
на верхнюю полуплоскость.
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите конформное отображение полуполосы ${\rm Re}\, z>0$,
|
||
$0< {\rm Im}\, z <1$ на верхнюю полуплоскость.
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите конформное отображение верхней полуплоскости с выброшенным отрезком
|
||
от $0$ до $i$ на верхнюю полуплоскость.
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите конформное отображение внешности эллипса с полуосями
|
||
$a$, $b$ ($a>b$)
|
||
на внешность единичного круга.
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите конформное отображение области $D$, являющейся верхней
|
||
полуплоскостью ${\rm Im}\, z>0$ с разрезом по дуге окружности
|
||
$|z|=1$, $0\leq {\rm arg}\, z \leq \alpha$, где $0<\alpha <\pi$,
|
||
на верхнюю полуплоскость.
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите конформное отображение области $D$, являющейся полуполосой
|
||
${\rm Re}\, z>0$, $0<{\rm Im}\, z < \pi$ с разрезом по отрезку
|
||
$[\frac{1}{2}\pi i, 1+\frac{1}{2}\pi i]$, на верхнюю полуплоскость.
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите конформное отображение $z(w)$ внешности единичного круга
|
||
$\UU$ на расширенной комплексной плоскости
|
||
$\hat \C$ (т.е. некомпактной области $\hat \C \setminus \UU$)
|
||
на расширенную комплексную плоскость с разрезом по дуге
|
||
$\gamma$
|
||
единичной окружности с углом раствора
|
||
$2\alpha$,
|
||
$$\gamma = \bigl \{z\in \C \bigl | \, |z|=1,
|
||
2\pi \! -\! \alpha \! < \! \mbox{arg}\, z \! < \! \alpha \bigr \}
|
||
\quad (0 < \alpha <\pi ),
|
||
$$
|
||
(т.е. на область $\hat \C \setminus \gamma$),
|
||
такое, что $z(\infty )=\infty$ и $z'(\infty )\in \R_{+}$.
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $\Gamma$ -- гладкая кривая $\Gamma : [0, +\infty )\to \HH$ в верхней полуплоскости
|
||
$\HH$, начинающаяся в точке $\Gamma (0)\in \R$ вещественной оси, и пусть $\Gamma_t$ --
|
||
часть кривой $\Gamma_t:=\Gamma ([0,t])$. Через $g(z,t)$ обозначим функцию, осуществляющую
|
||
конформное отображение области $\HH \setminus \Gamma_t$ на $\HH$, нормированную условием
|
||
$g(z, t)=z+u(t)z^{-1}+O(z^{-2})$, $z\to \infty$, $t>0$. Докажите, что существует
|
||
непрерывная вещественнозначная функция $\xi (t)$, такая, что функция $g(z, t)$ удовлетворяет
|
||
дифференциальному уравнению
|
||
$$
|
||
\frac{\partial g(z, t)}{\partial t} = \frac{1}{g(z, t) -\xi (t)} \,
|
||
\frac{\partial u}{\partial t}, \qquad g(z, 0)=z.
|
||
$$
|
||
Это уравнение называется (хордовым) уравнением Левнера и
|
||
играет важную роль в теории
|
||
конформных отображений.
|
||
|
||
|
||
|
||
\end{document} |