144 lines
No EOL
5.1 KiB
TeX
144 lines
No EOL
5.1 KiB
TeX
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
|
||
\usepackage[cp1251]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
|
||
\usepackage{xspace}
|
||
|
||
\pagestyle{empty}
|
||
|
||
\newcounter{zadacha}
|
||
\setcounter{zadacha}0
|
||
|
||
\newcommand*{\nz}{%
|
||
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
|
||
\textbf{\thezadacha.} }
|
||
|
||
\let\C\relax
|
||
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
|
||
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}
|
||
|
||
\let\Re\relax
|
||
\let\Im\relax
|
||
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
|
||
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
|
||
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\begin{center}\large\sc
|
||
Теория функций комплексного переменного -- 2025\\ листок 1
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите действительные и мнимые части следующих комплексных чисел:
|
||
|
||
(а) $\displaystyle{\frac{5}{1+2i}+\frac{5}{2-i}}$,
|
||
(б) $\displaystyle{\left (\frac{1-i}{1+i}\right )^3}$,
|
||
(в) $\displaystyle{\frac{(1-i\sqrt{3})^6}{(1+i)^4}}$,
|
||
(г) $\displaystyle{\left (\frac{i^5+2}{i^{19}+1}\right )^2}$
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите модули и аргументы следующих комплексных чисел:
|
||
|
||
(а) $\displaystyle{(\sqrt{3}-i)^{2023}}$,
|
||
(б) $\displaystyle{\left (\frac{1+i}{1-i}\right )^2}$,
|
||
(в) $\displaystyle{\frac{1+\cos \alpha +i\sin \alpha}{1+\cos \alpha -i\sin \alpha},
|
||
\quad 0<\alpha <\frac{\pi}{2}}$,\\
|
||
(г) $\displaystyle{\frac{e^{i\alpha}+1}{e^{i\alpha}-1}, \quad 0<\alpha <2\pi}$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Докажите, что многочлен $f(x)=(\cos \alpha +x\sin \alpha )^n -\cos n\alpha -
|
||
x\sin n \alpha$ делится на $x^2+1$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Выразите $\sin 4x$ как многочлен от $\sin x$, $\cos x$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Решите уравнение $\bar z =z^{n-1}$, $n\in \mathbb{N}$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Решите уравнения $z^2=5-12i$, $z^4+4=0$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $\zeta_1, \ldots , \zeta_n$ -- все корни уравнения $z^n=1$, где $n$ --
|
||
натуральное число. Найдите сумму $\zeta_1^k+\ldots +\zeta_n^k$ для каждого
|
||
натурального $k$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Точки $z_1$ и $z_2$ -- смежные вершины правильного $n$-угольника.
|
||
Найдите вершину $z_3$, смежную с $z_2$ ($z_3\neq z_1$, нумерация против
|
||
часовой стрелки).
|
||
|
||
\nz
|
||
Докажите, что комплексные числа $a,b,c$ представляют вершины равностороннего
|
||
треугольника тогда и только тогда, когда
|
||
$$
|
||
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac.
|
||
$$
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите произведение длин отрезков, соединяющих вершину правильного $n$-угольника
|
||
со всеми остальными вершинами, если длина стороны равна 1.
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Дайте геометрическое описание множеств
|
||
|
||
(а) $\{ z \colon |z-z_1|=|z-z_2|\}$,
|
||
|
||
(б) $\{ z \colon |z-1|+|z+1|=2a \}$ ($a>1$),
|
||
|
||
(в) $\{ z \colon \mbox{Re}(1/z)=\frac{1}{2} \}$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $a,b,c,d$ -- четыре различные точки на единичной окружности.
|
||
Найдите точку перечесения прямых $ab$ и $cd$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Докажите равенство
|
||
$$
|
||
|\sqrt{z^2-1}+z|+|\sqrt{z^2-1}-z|=|z-1|+|z+1|.
|
||
$$
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $P(z)$ -- многочлен степени $n$, имеющий $n$ вещественных корней
|
||
(с учетом кратности), $a$ -- произвольное вещественное число. Докажите,
|
||
что многочлен $Q(z)=P(z+ia)+P(z-ia)$ тоже имеет $n$ вещественных корней.
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите, во что переводят координатную сетку следующие отображения из
|
||
\C в~\C:
|
||
(а) $z\mapsto z^2$;
|
||
(б) $z\mapsto e^z$;
|
||
(в) $z\mapsto 1/z$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Отображение $z\mapsto z+(1/z)$ определено на множестве всех ненулевых
|
||
комплексных чисел.
|
||
|
||
(а) Во что это отображение переводит множество $\{z\colon |z|>1\}$?
|
||
|
||
(б) Является ли это отображение взаимно-однозначным на данном множестве?
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $A>0, C$ действительные, а $B$ -- комплексная постоянные и пусть $AC<|B|^2$.
|
||
Докажите, что уравнение
|
||
$$
|
||
A|z|^2 +\bar B z +B\bar z +C=0
|
||
$$
|
||
является уравнением окружности и найдите центр этой окружности и ее радиус.
|
||
|
||
\nz
|
||
Напишите уравнение окружности, проходящей через три различные
|
||
точки $z_1, z_2, z_3$, не лежащие на одной прямой.
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть отображение задано формулой $z\mapsto Az+B\bar z$. Во что оно
|
||
переводит окружность с центром в
|
||
нуле?
|
||
|
||
|
||
|
||
\end{document} |