109 lines
No EOL
2.9 KiB
TeX
109 lines
No EOL
2.9 KiB
TeX
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
|
||
\usepackage[cp1251]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
|
||
\usepackage{xspace}
|
||
|
||
\pagestyle{empty}
|
||
|
||
\newcounter{zadacha}
|
||
\setcounter{zadacha}0
|
||
|
||
\newcommand*{\nz}{%
|
||
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
|
||
\textbf{\thezadacha.} }
|
||
|
||
\let\C\relax
|
||
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
|
||
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}
|
||
\newcommand*{\HH}{\ensuremath{\mathbb H}\xspace}
|
||
|
||
\let\Re\relax
|
||
\let\Im\relax
|
||
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
|
||
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
|
||
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\begin{center}\large\sc
|
||
Теория функций комплексного переменного 2025\\ листок 10
|
||
\end{center}
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Сколько корней многочлена $z^7 +3z+1$ находится в круге
|
||
$|z|<1$?
|
||
|
||
\nz
|
||
Сколько корней многочлена $z^5 +z^2 +3z+1$ находится в круге
|
||
$|z|<1$?
|
||
|
||
\nz
|
||
Докажите, что уравнение $e^z = z+2$ имеет в
|
||
левой полуплоскости (${\rm Re} \, z <0$) единственный (и при том
|
||
действительный) корень.
|
||
|
||
\nz
|
||
Докажите, что при $\lambda >1$ уравнение $ze^{\lambda -z}=1$ имеет
|
||
в единичном круге ровно один корень (и при том действительный).
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите количество корней многочлена
|
||
$$
|
||
z^6 +z^5 +6z^4+5z^3 +8z^2 +4z +1
|
||
$$
|
||
в правой полуплоскости.
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите количество корней уравнения
|
||
$$
|
||
z^4 +2z^3 +3z^2 +z +2=0
|
||
$$
|
||
в правой полуплоскости и в правом верхнем квадранте.
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $f$ -- целая не постоянная функция. Положим $$M=
|
||
\mbox{max}_{|z|=r} |f(z)|.$$ Докажите, что
|
||
функция $r\mapsto M(r)$ является строго возрастающей.
|
||
Чему может быть равен ее предел при $r\to +\infty$?
|
||
|
||
\nz
|
||
Докажите, что всякий конформный автоморфизм комплексной плоскости
|
||
имеет вид $z\mapsto az+b$, $a\neq 0$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Докажите, что не существует конформного автоморфизма между множествами
|
||
$\C \setminus \{0,1,2\}$ и $\C \setminus \{0,1,1000\}$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Докажите, что всякий конформный автоморфизм единичного круга --
|
||
дробно-линейный автоморфизм.
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $U$ -- единичный круг (без границы). Существует ли голоморфное
|
||
отображение $f:U\to U$, для которого $f(0)=\frac{1}{2}$,
|
||
$f(\frac{1}{2})=\frac{7}{8}$?
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\end{document} |