134 lines
No EOL
4.4 KiB
TeX
134 lines
No EOL
4.4 KiB
TeX
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
|
||
\usepackage[cp1251]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
|
||
\usepackage{xspace}
|
||
|
||
\pagestyle{empty}
|
||
|
||
\newcounter{zadacha}
|
||
\setcounter{zadacha}0
|
||
|
||
\newcommand*{\nz}{%
|
||
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
|
||
\textbf{\thezadacha.} }
|
||
|
||
\let\C\relax
|
||
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
|
||
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}
|
||
|
||
\let\Re\relax
|
||
\let\Im\relax
|
||
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
|
||
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
|
||
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\begin{center}\large\sc
|
||
Теория функций комплексного переменного - 2025\\ листок 6
|
||
\end{center}
|
||
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Разложите в ряд Тейлора следующие функции
|
||
и найдите области сходимости рядов:
|
||
|
||
(а) $f(z)=\displaystyle{\frac{z}{1-z-z^2}}\,\,$ в точке $z=0$,
|
||
|
||
(б) $f(z)=\displaystyle{\frac{z}{z^2-2z+5}}\,\,$ в точке $z=1$,
|
||
|
||
(в) $f(z)=\displaystyle{\frac{z}{(1-z)^2}}\,\,$ в точке $z=0$
|
||
({\small эта функция называется {\it функцией} $\phantom{aaaaaa}$ {\it Кёбе}. На что она
|
||
отображает единичный диск?}),
|
||
|
||
(г) $f(z)=\displaystyle{\sin ^2 z}\,\,$ в точке $z=0$,
|
||
|
||
(д) $f(z)=\displaystyle{\frac{e^z-z-1}{z^2}}\,\,$ в точке $z=0$,
|
||
|
||
(е) $f(z)=\displaystyle{\int_0^z \frac{e^t -1}{t}\, dt}\,\,$ в точке $z=0$.
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть голоморфная в некотором круге с центром в нуле функция $f(z)$ удовлетворяет уравнению
|
||
$f(z)=z+f(z^2)$. Найдите разложение $f(z)$ в ряд и область сходимости ряда.
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите $f'''(0)$, где $f(z)=e^{\sin z}$.
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите радиусы сходимости рядов:
|
||
|
||
(а) $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}
|
||
\frac{n}{2^n}\, z^n},\,\, $
|
||
(б) $ \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\, z^n},\,\, $
|
||
(в) $ \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}z^{n!},}\,\,$
|
||
(г) $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\cos (in) \, z^{n}, \,\, }$\\
|
||
$\phantom{aaa}$ (д) $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} (3+(-1)^n)^n z^n }$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите суммы рядов $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}z^n/n}$,
|
||
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}n^2z^n}$.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Докажите, что в разложении
|
||
$\displaystyle{
|
||
\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}\, z^n}
|
||
$
|
||
все коэффициенты $B_n$ (числа Бернулли) с нечетными номерами равны $0$ кроме $B_1$
|
||
и найдите радиус сходимости ряда.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Для любого $a\in \C$ положим $(a)_n =a(a+1)(a+2)\ldots (a+n-1)$ (символ
|
||
Похгаммера).
|
||
|
||
(a) Определите радиус сходимости ряда
|
||
$$
|
||
F(a,b;c;z)= 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a)_n (b)_n}{n! (c)_n} \, z^n.
|
||
$$
|
||
|
||
(б) Докажите, что функция $F=F(a,b;c;z)$, задаваемая этим рядом,
|
||
удовлетворяет дифференциалному уравнению
|
||
$$
|
||
z(1-z)\frac{d^2 F}{d z^2}+[c-(a+b+1)z]\frac{d F}{d z}-ab F=0.
|
||
$$
|
||
{\small Функция $F(a,b;c;z)$ называется {\it гипергеометрической
|
||
функцией}}.
|
||
|
||
(в) Найдите второе решение гипергеометрического дифференциального уравнения в
|
||
предположении, что оно имеет вид $z^{\alpha}f(z)$, где $\alpha$ -- константа,
|
||
а $f(z)$ голоморфна в 0.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите все особые точки и определите их характер
|
||
у следующих функций:
|
||
(а) $\displaystyle{\frac{1}{1-\sin z}}\,\,$,
|
||
(б) $\displaystyle{\frac{z}{\sin (z^3)}}\,\,$,
|
||
(в) $\displaystyle{\ctg (1/z)}\,\,$,
|
||
(г) $\displaystyle{\frac{1}{e^{z^2}+1}}\,\,$,\\
|
||
(д) $\displaystyle{\frac{1}{e^{z}-1}-\frac{1}{z}}\,\,$,
|
||
(е) $\displaystyle{\frac{z^3}{\sin ^2 \frac{\pi}{z+1}}}\,$.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
%\nz
|
||
%Пусть функция $f$ голоморфна в проколотой
|
||
%окрестности точки $a$ и ${\rm Im}\, f(z)>0$ всюду в этой окрестности.
|
||
%Какого типа особенность может быть в точке $a$?
|
||
|
||
\end{document} |