121 lines
No EOL
3.8 KiB
TeX
121 lines
No EOL
3.8 KiB
TeX
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
|
||
\usepackage[cp1251]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
|
||
\usepackage{xspace}
|
||
|
||
\pagestyle{empty}
|
||
|
||
\newcounter{zadacha}
|
||
\setcounter{zadacha}0
|
||
|
||
\newcommand*{\nz}{%
|
||
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
|
||
\textbf{\thezadacha.} }
|
||
|
||
\let\C\relax
|
||
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
|
||
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}
|
||
|
||
\let\Re\relax
|
||
\let\Im\relax
|
||
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
|
||
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
|
||
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\begin{center}\large\sc
|
||
Теория функций комплексного переменного -- 2025\\ листок 4
|
||
\end{center}
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Вычислите интеграл $\displaystyle{\int_{\gamma}(z-a)^n dz}$
|
||
по контуру $\gamma (t)=a+re^{it}$, \\$0\leq t<2\pi$, $r>0$, $n\in \mathbb{Z}$.
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Вычислите интеграл $\displaystyle{\int_{\gamma}
|
||
z^n dz}$, где $n\in \mathbb{Z}$, а $\gamma$ -- некоторый путь из $a$ в $b$.
|
||
(Убедитесь, что при $n\neq -1$ интеграл
|
||
не зависит от выбора пути, а при $n=-1$ зависит, и опишите как.)
|
||
|
||
\nz
|
||
Вычислите интеграл $\displaystyle{\oint_{|z|=1}
|
||
\frac{dz}{z^2 +\frac{1}{4}}}$
|
||
по единичной окружности.
|
||
|
||
\nz
|
||
Вычислите интеграл
|
||
$\displaystyle{\oint_{\gamma}\frac{2z^2+5z+8}{z(z+1)^2}}\, dz$, где контур
|
||
$\gamma$ -- окружность $|z|=3$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите все возможные значения интеграла $\displaystyle{
|
||
\int_{C} \frac{dz}{z(z^2-1)}}$ при различных выборах контура $C$
|
||
($C$ -- замкнутый контур без самопересечений, не проходящий ни через
|
||
одну из точек $0,1,-1$).
|
||
|
||
\nz
|
||
Покажите, что если путь $\gamma$, соединяющий точки 0 и 1, не проходит через
|
||
точки $\pm i$, то
|
||
$$
|
||
\int_{\gamma}\frac{dz}{1+z^2} =\frac{\pi}{4}+k\pi,
|
||
$$
|
||
где $k$ -- целое число.
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Вычислите интеграл $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\cos (z^{-1})dz}$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Приведите пример рациональной функции $f$ и замкнутого контура $\gamma$
|
||
таких, что $\displaystyle{\oint_{\gamma}f(z)dz=1}$ и
|
||
$\displaystyle{\oint_{\gamma}zf(z)dz =-1}$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Вычислите интеграл $\displaystyle{\int_{\gamma}\bar z dz}$,
|
||
где $\gamma$ -- окружность радиуса $R$ с центром в точке $a\in \C$,
|
||
проходимая против часовой стрелки.
|
||
|
||
\nz
|
||
Вычислите интеграл $\displaystyle{\int_{\gamma}
|
||
\frac{\bar z}{z}\, dz}$,
|
||
где $\gamma$ -- окружность радиуса $R$ с центром в точке $a$
|
||
($|a|\neq R$).
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $P(z)$ -- многочлен. Докажите, что
|
||
$$\displaystyle{
|
||
\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-a|=R}P(z)d\bar z =-R^2 P'(a)}.
|
||
$$
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $\gamma$ -- гладкий замкнутый контур, а функция $f$ голоморфна в
|
||
окрестности кривой $\gamma$. Докажите, что
|
||
$\displaystyle{\oint_{\gamma}\overline{f(z)}f'(z)dz}$ -- чисто мнимое
|
||
число.
|
||
|
||
\nz
|
||
Вычислите интегралы
|
||
|
||
(а) $\displaystyle{\int \!\!\! \int_{\C}
|
||
e^{-\alpha |z|^2}\, dx \, dy}$,
|
||
|
||
(б) $\displaystyle{\int \!\!\! \int_{\C}
|
||
e^{-\alpha |z|^2 +az+\bar a \bar z}\, dx \, dy}$.
|
||
|
||
|
||
|
||
\vspace{1cm}
|
||
|
||
|
||
|
||
Направление обхода контуров в контурных интегралах предполагается положительным
|
||
(против часовой стрелки).
|
||
|
||
|
||
\end{document} |