134 lines
No EOL
4.3 KiB
TeX
134 lines
No EOL
4.3 KiB
TeX
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
|
||
\usepackage[cp1251]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
|
||
\usepackage{xspace}
|
||
|
||
\pagestyle{empty}
|
||
|
||
\newcounter{zadacha}
|
||
\setcounter{zadacha}0
|
||
|
||
\newcommand*{\nz}{%
|
||
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
|
||
\textbf{\thezadacha.} }
|
||
|
||
\let\C\relax
|
||
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
|
||
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}
|
||
|
||
\let\Re\relax
|
||
\let\Im\relax
|
||
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
|
||
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
|
||
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\begin{center}\large\sc
|
||
Теория функций комплексного переменного -- 2025\\
|
||
Листок 3
|
||
\end{center}
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите все точки, в которых $\C$-дифференцируемы функции\\
|
||
а) $|z|^2$, б) $|z|z$, в) $({\rm Re}\, z)^2$.
|
||
|
||
\nz
|
||
а) При каких комплексных $a,b,c$ функция $f(z)=az+b\bar z +z^2 +c$ имеет
|
||
комплексную производную в точке $z=0$? б) При каких вещественных $a,b$
|
||
функция $f(x,y)=ax^2+by^2+ixy$ голоморфна на всем $\C$?
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $f(z)$ -- дифференцируемая функция комплексного
|
||
переменного в точке $a$. Докажите, что функция $\overline{f(\bar z)}$
|
||
дифференцируема в точке $\bar a$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Покажите, что функция $f: re^{i\varphi}\mapsto re^{2i\varphi}$ не
|
||
голоморфна на $\C \setminus \{0\}$.
|
||
|
||
\nz
|
||
а)
|
||
Докажите, что если голоморфная в некоторой области функция
|
||
$f(z)$ вешественна (т.е. принимает только вещественные значения), то она
|
||
постоянна.
|
||
б)
|
||
Пусть функция $f(z)$ голоморфна в некоторой области $D$, и $|f(z)|=1$
|
||
всюду в этой области. Докажите, что $f(z)\equiv {\rm const}$.
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Восстановите аналитическую функцию $f(z)$ по условию:
|
||
|
||
а) ${\rm Re}\, f(z)=\sin x \cosh y$, $f(0)=0$,
|
||
|
||
б) ${\rm Re}\, f(z)=
|
||
x\sin x \cosh y -y\sinh y \cos x$, $f(0)=0$,
|
||
|
||
в) ${\rm Im}\, f(z)=
|
||
y\cos x \cosh y-x\sin x \sinh y$, $f(0)=2$,
|
||
|
||
г) $|f(z)|=(x^2+y^2)e^x$,
|
||
|
||
д) $\mbox{arg}\, f(z)=xy$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Докажите, что аналитическую в $\C$ функцию
|
||
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ можно восстановить по ее вещественной части $u$
|
||
или мнимой части $v$ с помощью формул
|
||
$$
|
||
f(z)=2u\Bigl (\frac{z+z_0}{2}, \, \frac{z-z_0}{2i}\Bigr )-
|
||
\overline{f(\bar z_0)},
|
||
$$
|
||
$$
|
||
f(z)=2iv\Bigl (\frac{z+z_0}{2}, \, \frac{z-z_0}{2i}\Bigr )+
|
||
\overline{f(\bar z_0)},
|
||
$$
|
||
где $z_0 \in \C$ -- некоторая точка.
|
||
|
||
\vspace{0.5cm}
|
||
\small{
|
||
Вещественнозначная функция двух вещественных
|
||
переменных $F(x,y)$ называется
|
||
{\it гармонической}, если $\displaystyle{
|
||
\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=0}$.
|
||
}
|
||
|
||
\nz
|
||
Запишите оператор Лапласа $\Delta =\displaystyle{
|
||
\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}}$ в координатах
|
||
$z$, $\bar z$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $f(z)$ -- голоморфная функция. Докажите, что функции
|
||
${\rm Re} f$ и ${\rm Im} f$ -- гармонические
|
||
(т.е. $\Delta {\rm Re} f=\Delta {\rm Im} f=0$). Что можно сказать
|
||
о функциях $|f|$ и $\mbox{arg}\, f$?
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $F(x,y)$ -- гармоническая функция. Для каких функций
|
||
$G$ функция $G(F(x,y))$ тоже будет гармонической?
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите все гармонические функции вида а) $F=\varphi (x^2+y^2)$, \\ б)
|
||
$F=\varphi (x^2-y^2)$, в) $F=\varphi (y/x)$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $u(x,y)$ -- гармоническая функция. Являются ли гармоническими
|
||
функции $u(x, -y)$, $u(x^2-y^2, 2xy)$?
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите гармоническую функцию $u(x,y)$ на $\C$ такую, что\\
|
||
$u(\cos t, \sin t)=\cos^2 t.$
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\end{document} |