129 lines
No EOL
4.7 KiB
TeX
129 lines
No EOL
4.7 KiB
TeX
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
|
||
\usepackage[cp1251]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
|
||
\usepackage{xspace}
|
||
|
||
\pagestyle{empty}
|
||
|
||
\newcounter{zadacha}
|
||
\setcounter{zadacha}0
|
||
|
||
\newcommand*{\nz}{%
|
||
\par\medskip\refstepcounter{zadacha}
|
||
\textbf{\thezadacha.} }
|
||
|
||
\let\C\relax
|
||
%\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
|
||
%\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}
|
||
|
||
\newcommand*{\C}{\ensuremath{\mathbb C}\xspace}
|
||
\newcommand*{\R}{\ensuremath{\mathbb R}\xspace}
|
||
\newcommand*{\HH}{\ensuremath{\mathbb H}\xspace}
|
||
|
||
\let\Re\relax
|
||
\let\Im\relax
|
||
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
|
||
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
|
||
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\begin{center}\large\sc
|
||
Теория функций комплексного переменного - 2026\\ листок 7
|
||
\end{center}
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\nz
|
||
С помощью интегральной формулы Коши вычислите интегралы
|
||
(а) $\displaystyle{\int_{|z|=2}\frac{e^z dz}{z^2-1}}$,
|
||
(б) $\displaystyle{\int_{|z-a|=a}\frac{zdz}{z^4-1}}$, $a>1$,
|
||
(в) $\displaystyle{\int_{|z-1|=1}\frac{ze^zdz}{(z-1)^3}}$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $f(z)$ -- голоморфная функция в верхней полуплоскости, непрерывно продолжаемая
|
||
на вещественную ось, причем $\lim\limits_{|z|\to \infty} f(z)=0$.
|
||
Докажите интегральную формулу Шварца
|
||
$$
|
||
f(z)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{{\rm Im} f(x)}{x-z}\, dx.
|
||
$$
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $f(z)$ -- голоморфная функция в единичном круге, непрерывно продолжаемая
|
||
на его границу. Докажите интегральную формулу Пуанкаре
|
||
$$
|
||
f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \!{\rm Re} f(e^{i\theta})
|
||
\frac{e^{i\theta}+z}{e^{i\theta}-z}\, d\theta +i{\rm Im} f(0).
|
||
$$
|
||
|
||
\nz
|
||
Найдите вычеты дифференциальных форм в их особых точках:\\
|
||
а) $\displaystyle{\frac{z dz}{z^2+1}}$,
|
||
б) $\displaystyle{\frac{e^z dz}{(z-1)^2}}$,
|
||
в) $\displaystyle{\frac{z^{}dz}{\sin ^2 z}}$,
|
||
г) $\displaystyle{\frac{z^{2n}dz}{(z-1)^n}}$,
|
||
д) $\displaystyle{\frac{e^{1/z}dz}{1-z}}$,
|
||
е) $\sin z \, \sin (1/z) \, dz$,\\
|
||
ж) $\displaystyle{\frac{\sin 3z - 3\sin z}{\sin z \, (\sin z -z)}\, dz}$ в точке
|
||
$z=0$,
|
||
з) $\displaystyle{z^2 \sin \frac{1}{z+1} \, dz}$,
|
||
и) $\displaystyle{\frac{dz}{z(e^{2z}-1)}}$ в точке
|
||
$z=0$,
|
||
к) $\displaystyle{e^{z/(1-z)}dz}$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Докажите, что для четной функции $f(z)$ имеет место равенство
|
||
$$\mbox{res}_{z=a}f(z)dz =-\mbox{res}_{z=-a}f(z)dz$$ а для нечетной
|
||
$$\mbox{res}_{z=a}f(z)dz =\mbox{res}_{z=-a}f(z)dz$$
|
||
|
||
\nz
|
||
Вычислите интегралы:
|
||
а) $\displaystyle{\oint_{|z|=4}\frac{z^4 dz}{e^z +1}}$,
|
||
б) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\frac{e^z dz}{(2z+1)^2 (z+2)}}$, \\
|
||
в) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}(z+1)e^{1/z}dz}$,
|
||
г) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\frac{z^3 dz}{2z^4+1}}$,
|
||
д) $\displaystyle{\oint_{|z|=3}\frac{z^3-1}{z-1}\left (e^{\frac{1}{z}}+
|
||
e^{\frac{1}{z-1}}+e^{\frac{1}{z-2}}\right )dz}$,
|
||
е) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\frac{dz}{e^{2/z}-e^{1/z}}}$,
|
||
ж) $\displaystyle{\oint_{|z|=3}\frac{dz}{(z-1)^2(1-\cos z)}}$,
|
||
з) $\displaystyle{\oint_{|z|=1}\frac{z-(\log 2)^{-1}}{e^{1/z}-2}\, dz}$.
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть функция $f(z)$ регулярна в замыкании конечной области $D$,
|
||
а точки $a_1, \ldots , a_n$ лежат в $D$ и попарно различны. Обозначим
|
||
$P(z)=(z-a_1)\ldots (z-a_n)$ и
|
||
$$
|
||
\Phi (z)=-\frac{P(z)}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{f(\xi )}{P(\xi )}
|
||
\, \frac{d\xi}{\xi -z}, \quad z\notin D.
|
||
$$
|
||
Докажите, что функция $\Phi (z)$ аналитически продолжается на всю
|
||
плоскость и представляет собой многочлен степени $n-1$, причем
|
||
$\Phi (a_k)=f(a_k)$, $k=1, \ldots , n$. (Многочлен $\Phi (z)$
|
||
называется интерполяционным многочленом Лагранжа.)
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $p_1, \ldots , p_N$ -- $N$ различных комплексных чисел.
|
||
Докажите тождество
|
||
$$
|
||
\sum_{i=1}^N \prod_{j\neq i}^N \frac{p_i+p_j}{p_i-p_j}=
|
||
\frac{1}{2}\Bigl (1-(-1)^N\Bigr ).
|
||
$$
|
||
{\it Указание: воспользуйтесь тем, что
|
||
сумма вычетов рациональной функции, включая вычет
|
||
в $\infty$, равна 0.}
|
||
|
||
\nz
|
||
Пусть $w_1, \ldots , w_N$ -- $N$ различных комплексных чисел.
|
||
Найдите сумму
|
||
$$
|
||
S=\sum_{i=1}^N \prod_{j\neq i}^N \frac{1-w_iw_j}{w_i-w_j}.
|
||
$$
|
||
|
||
|
||
|
||
\end{document} |